giả sử ta có hình bình hành ABCD 

A B C D

ta có \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\Rightarrow AC^2=AB^2+BC^2+2.AB.BC.cos\left(BAD\right)\)

\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\Rightarrow BD^2=BC^2+CD^2+2BC.CDcos\left(ABC\right)\)

Nên \(AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2+2AB.BC.\left[cos\left(ABC\right)+cos\left(BAD\right)\right]\)

\(=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2\)

do đó ta có điều phải chứng minh

ta có \(\hept{\begin{cases}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\Rightarrow AC^2=AB^2+BC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow BD^2=BA^2+AD^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}\end{cases}}\)

mà \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\)

Do đó \(AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

ta có \(a^2=\frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}\Leftrightarrow a^2\left(b+c\right)-a^3=b^3+c^3-a^3\Leftrightarrow a^2=\frac{b^3+c^3}{b+3}\)

hay \(a^2=b^2-bc+c^2\)

mà theo địnkh lý cosin trong tam giác ta có \(a^2=b^2-2.bc.cos\left(A\right)+c^2\Rightarrow cos\left(A\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\)

ta có \(a=2b.cos\left(C\right)=2b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\Leftrightarrow a^2=a^2+b^2-c^2\Leftrightarrow b=c\)

vì vậy ABC cân tại A mà lại có A=60 độ nên ABC đều

ta có \(S=\frac{a^2-\left(b-c^2\right)}{4}=\frac{a^2-b^2-c^2+2bc}{4}\)

mà theo định lý cosin ta có \(a^2-b^2-c^2=-2bc.cos\left(A\right)\Rightarrow S=\frac{bc\left(1-cos\left(A\right)\right)}{2}\)

mà ta có công thức \(S=\frac{b.c.sin\left(A\right)}{2}\Rightarrow1-cos\left(A\right)=sin\left(A\right)\Rightarrow cos\left(A\right)+sin\left(A\right)=1\)

mà \(cos^2\left(A\right)+sin^2\left(A\right)=1\Rightarrow2sin\left(A\right).cos\left(A\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0^0\\A=90^0\end{cases}}\)

Do A>0 nên \(A=90^0\)Vậy ABC vuoogn tại A