1, \(\left(x+2y\right)=x^2+4xy+4y^2\)

2, \(\left(4x-5y\right)^2=16x^2-40xy+25y^2\)

3, \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2=4x^2-2x+\frac{1}{4}\)

4, \(\left(\frac{x}{2}-y\right)\left(\frac{x}{2}+y\right)=\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{2}-\frac{xy}{2}-y^2=\frac{x^2}{4}-y^2\)

5, \(\left(x+\frac{1}{3}\right)^3=x^3+x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{27}\)

6, \(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x^2-4\)

\(a^4+a^2+1=a^4-a^3+a^2+\left(a^3+1\right)\)

\(=a^2\left(a^2-a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)

\(=\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

Cách 2 lun: 

\(a^4+a^2+1=\left(a^4+2a^2+1\right)-a^2\)

\(=\left(a^2+1\right)^2-a^2=\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)

a² + b² + 4 ≥ ab + 2( a + b )

Nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức

<=> 2( a² + b² + 4 ) ≥ 2[ ab + 2( a + b ) ] 

<=> 2a² + 2b² + 8 ≥ 2ab + 4( a + b ) 

<=> 2a² + 2b² + 8 ≥ 2ab + 4a + 4b

<=> 2a² + 2b² + 8 - 2ab - 4a - 4b ≥ 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( a² - 4a + 4 ) + ( b² - 4b + 4 ) ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( a - 2 )² + ( b - 2 )² ≥ 0 ( đúng )

=> đpcm 

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-2=0\\b-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2\)

\(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(\forall x,y,z\in R\right)\)

=> đpcm

a) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức

<=> 2( a² + b² + c² ) ≥ 2( ab + bc + ca )

<=> 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ca

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ca + a² ) ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² ≥ 0 ( đúng )

=> đpcm 

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

b) a² + b² + c² + 3 ≥ 2( a + b + c )

<=> a² + b² + c² + 3 ≥ 2a + 2b + 2c

<=> a² + b² + c² + 3 - 2a - 2b - 2c ≥ 0

<=> ( a² - 2a + 1 ) + ( b² - 2b + 1 ) + ( c² - 2c + 1 ) ≥ 0

<=> ( a - 1 )² + ( b - 1 )² + ( c - 1 )² ≥ 0 ( đúng )

=> đpcm 

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có a, b > 0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho :

• Cặp số a, b ta được

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

• Cho cặp số 1/a, 1/b ta được

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân hai vế tương ứng ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b 

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)  ( 1 ) 

\(1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4\) 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số không âm a và b 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}\) 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) ( 2 ) 

Suy ra ( 2 ) đúng  

Vậy ( 1 ) đúng  

x( 1 + y ) - y( xy - 1 ) - x²y

= x + xy - xy² + y - x²y

= ( x + y ) + ( xy - xy² - x²y )

= ( x + y ) + xy( 1 - y - x )

= ( x + y ) + xy[ -( x + y - 1 ) ]

= ( x + y ) - xy( x + y - 1 ) (*)

Với x + y = 5 ; xy = 2

(*) = 5 - 2( 5 - 1 ) = 5 - 2.4 = -3

Bài làm :

Đặt  \(A=x\left(1+y\right)-y\left(xy-1\right)-x^2y\)

\(=x+xy-xy^2+y-x^2y\)

\(=\left(x+y\right)+\left(xy-xy^2-x^2y\right)\)

\(=\left(x+y\right)+xy\left(1-y-x\right)\)

\(=\left(x+y\right)+xy\left[1-\left(y+x\right)\right]\)

Thay x + y = 5 và xy = 2 vào biểu thức trên , ta có :

\(A=5+2\left(1-5\right)\)

\(=5+2.\left(-4\right)\)

\(=-3\)

Vậy giá trị của biểu thức bằng -3 khi x + y = 5 và xy = 2 .

Học tốt

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) <=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

<=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}=-\frac{1}{c^3}\)

<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Khi đó, A = \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc\cdot\frac{3}{abc}=3\)

Xét: \(A=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

Ta có đẳng thức sau: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)+3xyz\)

(Đẳng thức này chứng minh rất dễ nha, chỉ cần bung hết ra là được)

Vậy ta thế \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\)vào đẳng thức:

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}-\frac{1}{ca}\right)+\frac{3}{abc}\)

\(=\frac{3}{abc}\)Vì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)---> Thế cái này vào A:

\(\Rightarrow A=abc.\frac{3}{abc}=3\)

Xoooooooong !!!!! :)))

Đây là 1 bài toán cực nổi tiếng lun.

Liên quan tới 1 giả thiết của Fermat cho rằng \(2^{2^n}+1\)Là các số nguyên tố

Tuy nhiên khi xét tới n=5 tức là \(2^{2^5}+1=2^{32}+1\)thì lại sai

Vì \(\frac{2^{32}+1}{641}=6700417\)Tức là chia hết cho 641

Vậy kết quả cuối cùng là ko phải số nguyên tố nha ! :))

Đây là một bài toán hay áp dụng phương pháp phân tử ,  lời giải như sau

Xét \(M=x^{32}-x^{24}+2x^{23}+x^{18}-2x^{17}-x^{10}+2x^9+1\)Phân tích M thành nhân tử ta được 

\(M=\left(x^9+x^7+1\right)\cdot\left(x^{23}-x^{21}+x^{19}-x^{17}+x^{14}-x^{10}+x^9-x^7+1\right)\)(Phần phân tích các bạn tự làm nhé )

Suy ra nếu \(x\in Z\)thì M chia hết cho \(x^9+x^7+1\)

Với x=2 thì \(M=2^{32}-2^{24}+2\cdot2^{23}+2^{18}-2\cdot2^{17}-2^{10}+2\cdot2^9+1=2^{32}+1\)Mặt khác do 2 nguyên nên M chia hết cho \(2^9+2^7+1=641\)Suy ra M là hợp số 

      Vậy \(2^{32}+1\)không là số nguyên tố  

\(A=2^{32}+1\)