\(4x^2-4\)  

\(=4\left(x^2-1\right)\) 

\(=4\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

               Bài làm :

Ta có :

\(4x^2-4=\left(2x\right)^2-2^2=\left(2x-2\right)\left(2x+2\right)\)

\(x^2-3x+5\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy \(x=3\)hoặc \(x=-5\)

\(x^2-3x+5\left(x-3\right)=0\) 

\(x^2-3x+5x-15=0\) 

\(x^2+2x-15=0\)  

\(x^2-3x+5x-15=0\) 

\(x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)=0\) 

\(\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}x+5=0\\x-3=0\end{cases}}\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=-5\\x=3\end{cases}}\)

a) x² - xy - 20y²

= x² + 4xy - 5xy - 20y²

= x( x + 4y ) - 5y( x + 4y )

= ( x + 4y )( x - 5y )

b) x³ - x²y - 3xy² + 2y³

= x³ + x²y - 2x²y - xy² - 2xy² + 2y³

= ( x³ + x²y - xy² ) - ( 2x²y + 2xy² - 2y³ )

= x( x² + xy - y² ) - 2y( x² + xy - y² )

= ( x² + xy - y² )( x - 2y )

Áp dụng cách đánh giá quen thuộc 

\(3\left(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\right)^2\)

Hay \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

Ta cần chỉ ra được \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Ta đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Cần chú ý đến \(a^2+b^2+c^2\). Ta được

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta cần chứng minh được

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Dễ thấy \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Do đó \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 

\(\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Do đó ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Bài toán được chứng minh :3