Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn O. Hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt đường tròn O lần lượt tại K và I.  a) Chứng minh EF // IK.  b) IK cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh OA⊥PQ  .  c) Tia AO cắt (O) tại D, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.  d) Tia AH cắt (O) tại M. Chứng minh AB.DC = MB.AC.  e) Chứng minh BD.AC + CD.AB = AD.BC.

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ tiếp tuyến chung MN của (O) và (O') với \(M\in\left(O\right), N\in\left(O'\right)\)và A nằm trong tam giác BMN. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O') C, MA cắT NC tại D. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat{NAD}=\widehat{ABD}\)

b) ND tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABD\)

 Hãy tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là những số nguyên:

\(\hept{\begin{cases}a.x+\left(3a-2\right)y+a=0\\2x+\left(a+1\right)y+4=0\end{cases}}\)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R).Quá tâm O vẽ các đường thẳng vuông góc với BC,AC lânf lượt tại H,K.Các đường thẳng này lần lượt cắt đường tròn tại M,N;AM cắt BN tại I

1.chứng minh 4 điểmO,H,C,K cùng thuộc một đường tròn

2.chứng minh MN là trung trực của IC

3.chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC theo R khi góc BAC=120°