a) ( x² + x )² - 2( x² + x ) - 15 (*)

Đặt t = x² + x

(*) <=> t² - 2t - 15 

      = t² + 3t - 5t - 15

      = t( t + 3 ) - 5( t + 3 )

      = ( t + 3 )( t - 5 )

      = ( x² + x + 3 )( x² + x - 5 )

b) ( x² + 2x )² + 9x² + 18x + 20

= ( x² + 2x )² + 9( x² + 2x ) + 20 (*)

Đặt t = x² + 2x

(*) <=> t² + 9t + 20

       = t² + 4t + 5t + 20

       = t( t + 4 ) + 5( t + 4 ) 

       = ( t + 4 )( t + 5 )

       = ( x² + x + 4 )( x² + x + 5 )

c) ( x² + 3x + 1 )( x² + 3x + 2 ) - 6 (*)

Đặt t = x² + 3x + 1 

(*) <=> t( t + 1 ) - 6

      = t² + t - 6

      = t² - 2t + 3t - 6

      = t( t - 2 ) + 3( t - 2 )

      = ( t - 2 )( t + 3 )

      = ( x² + 3x + 1 - 2 )( x² + 3x + 1 + 3 )

      = ( x² + 3x - 1 )( x² + 3x + 4 )

d) ( x² + 8x + 7 )( x + 3 )( x + 5 ) + 15

= ( x² + 8x + 7 )( x² + 8x + 15 ) + 15 (*)

Đặt t = x² + 8x + 7

(*) <=> t( t + 8 ) + 15

       = t² + 8t + 15

       = t² + 3t + 5t + 15

       = t( t + 3 ) + 5( t + 3 )

       = ( t + 3 )( t + 5 )

       = ( x² + 8x + 7 + 3 )( x² + 8x + 7 + 5 )

       = ( x² + 8x + 10 )( x² + 8x + 12 )

M = ( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 ) + 1

= [ ( a + 1 )( a + 4 ) ][ ( a + 2 )( a + 3 ) ] + 1

= ( a² + 5a + 4 )( a² + 5a + 6 ) + 1

Đặt t = a² + 5a + 4

M = t( t + 2 ) + 1

    = t² + 2t + 1

    = ( t + 1 )²

    = ( a² + 5a + 4 + 1 )²

    = ( a² + 5a + 5 )²

Vì a nguyên => a² + 5a + 5 nguyên

Vậy M =  ( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 ) + 1 là bình phương của một số nguyên ( đpcm )

2) \(\hept{\begin{cases}^{x^2-xy=y^2-yz}\left(1\right)\\^{y^2-yz=z^2-zx}\left(2\right)\\^{z^2-zx=x^2-xy}\left(3\right)\end{cases}}\)

lấy (2) - (1) suy ra\(2yz=2y^2+xy+xz-x^2-z^2\)

lấy (3) - (1) suy ra \(2xy=zx+yz-z^2+2x^2-y^2\) 

lấy (3) - (2) suy ra \(2zx=xy+yz+2z^2-x^2-y^2\)

cộng lại đc \(yz+xz+xy=0\) do đó \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)

1) \(a=x^2-xy=x\left(x-y\right)\ne0\left(x\ne0,x\ne y\right)\)

Ta có A = |x - 2015| + |x - 2016|

= |x - 2015| + |2016 - x| 

\(\ge\)|x - 2015 + 2016 - x| = 1

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(x-2015\right)\left(2016-x\right)\ge0\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-2015\ge0\\2016-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2015\\x\le2016\end{cases}}\Rightarrow2015\le x\le2016\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-2015\le0\\2016-x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le2015\\x\ge2016\end{cases}}\left(\text{loại}\right)\)

Vậy Min A = 1 <=> \(2015\le x\le2016\)

b) Ta có B = |x - 5| + |x  - 7|+ |2x - 18|

= |x - 5| + |x  - 7|+ |18 - 2x|

\(\ge\)|x - 5 + x - 7| + |18 - 2x| 

= |2x - 12| + |18 - 2x|

\(\ge\)|2x - 12 + 18 - 2x| = 6

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(2x-12\right)\left(18-2x\right)\ge0\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2x-12\ge0\\18-2x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge6\\x\le9\end{cases}}\Rightarrow6\le x\le9\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2x-12\le0\\18-2x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le6\\x\ge9\end{cases}}\)(loại)

Vậy Min B = 6 <=> \(6\le x\le9\)

a) x² + y² - 6x + 2y + 10 = 0

<=> ( x² - 6x + 9 ) + ( y² + 2y + 1 ) = 0

<=> ( x - 3 )² + ( y + 1 )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-3=0\\y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}}\)

b) 4x² + y² - 20x - 2y + 26 = 0

<=> ( 4x² - 20x + 25 ) + ( y² - 2y + 1 ) = 0

<=> ( 2x - 5 )² + ( y - 1 )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}2x-5=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=1\end{cases}}\)

a) x² + y² - 6x + 2y + 10 = 0

=> (x² - 6x + 9) + (y² + 2y + 1) = 0

=> (x - 3)² + (y + 1)² = 0 (1)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\\\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge0\forall x;y\)

Đẳng thức (1) xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-3=0\\y+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy x = 3 ; y = -1

b) 4x² + y² + 20x - 2y + 26 = 0

=> (4x² - 20x + 25) + (y² - 2y + 1) = 0

=> (2x - 5)² + (y - 1)² = 0 (1)

Vì  \(\hept{\begin{cases}\left(2x-5\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(2x-5\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)

Đẳng thức (1) "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-5=0\\y-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2,5\\y=1\end{cases}}\)

Vậy x = 2,5 ; y = 1

\(x^n\left(x+1\right)-x^n-x^{n-1}=0\)

<=> \(x^{n+1}-x^{n-1}=0\)

<=> \(x^{n-1}\left(x^2-1\right)=0\)

<=> x = 0 ; x = 1; x = -1

( n² + 3n + 1 )( n + 2 ) - n³ + 2

= n³ + 2n² + 3n² + 6n + n + 2 - n³ + 2

= 5n² + 7n + 4 ( chưa thể chứng minh được )

tìm m,n,p 

-3x^k ( m^2 + n x + p ) = 3x^k+2+12x^k+3^k với mọi x

bn coi lại đề thử mình thấy đề  bài này sai sai rồi

kết quả là 0