Kẻ \(MM'\perp d\)

Xét tứ giác BB'CC' có :

\(BB'//CC'\left(\perp d\right)\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác BB'CC' là hình thang

Xét hình thang BB'CC' có :

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(MM'//BB'//CC'\left(\perp d\right)\)

\(\Rightarrow B'M=C'M\)

\(\Rightarrow\)MM' là đường trung bình của hình thang ABCD

\(\Rightarrow MM'=\frac{BB'+CC'}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AA'I\)và \(\Delta MM'I\)có :

            \(\widehat{AA'I}=\widehat{MM'I}\left(=90^o\right)\)

                 \(AI=IM\left(gt\right)\)

            \(\widehat{AIA'}=\widehat{MIM'}\)( đối đỉnh )

\(\Rightarrow\Delta AA'I=\Delta MM'I\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AA'=MM'\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow AA'=\frac{BB'+CC'}{2}\)

1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka₁, c=kc₁ và (a₁,c₁)=1

Thay vào ab=cd được ka₁b=bc₁d nên

a₁b=c₁d  (1)

Ta có: a₁b \(⋮\)c₁ mà (a₁,c₁)=1 nên b\(⋮\)c₁. Đặt b=c₁m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a₁c₁m =  c₁d nên a₁m=d

Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)

\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)

Do a₁, c₁, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)

2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.

Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.

Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)

b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a² chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)

Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......

\(4x^3-3x=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow\left(4x^3-3x\right)^2=1-x^2\)

\(\Leftrightarrow16x^6-24x^4+9x^2=1-x^2\Leftrightarrow16x^6-24x^4+10x^2-1=0\) vonghiem 

P = \(n^3-n^2-n-2\)

P = \(\left(n^3-1\right)-\left(n^2+n+1\right)\)

P = \(\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)-\left(n^2+n+1\right)\)

P = \(\left(n^2+n+1\right)\left(n-2\right)\)

Ta có : Để P là số nguyên tố thì \(n^2+n+1\)= 1 hoặc n-2 =1

* Nếu \(n^2+n+1=1\)thì n=0 , khi đó P =0 (không là số nguyên tố)

*Nếu n-2=1 => n=3 (thỏa mãn điều kiện n là Số tự nhiên)

Khi đó : P = 13 là số nguyên tố

Vậy n=3 thì P là Số nguyên tố

Nếu min = 1 thì P là số nguyên âm.

min = 2 thì P không phải là số nguyên tố , cũng không phải hợp số.

min = 3 => \(3^3-3^2-3-2\Rightarrow27-9-1\)

Thấy ngay P là số nguyên tố.

n=3

\(2x^3-5x^2+2x=x.\left(2x^2-5x+2\right)\)

\(=x.\left[\left(2x^2-4x\right)-\left(x-2\right)\right]\)

\(=x.\left[2x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\right]\)

\(=x.\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\)

Đặt \(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}\right)\)

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\)

\(\Rightarrow VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{yz}{xy+xz+2yz}\right)\)\(\le\frac{3}{4}\left[\Sigma_{cyc}yz\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)\right]=\frac{9}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài 1: Bổ đề: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{4a^2+2ab+4b^2}+\sqrt{4b^2+2bc+4c^2}+\sqrt{4c^2+2ca+4a^2}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2\right)+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{3\left(b^2+c^2\right)+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{3\left(c^2+a^2\right)+\left(c+a\right)^2}\right)\)

\(\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{2}\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{2}\left(c+a\right)^2+\left(c+a\right)^2}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{5}{2}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{5}{2}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{5}{2}\left(c+a\right)^2}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\)\(=\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)=\sqrt{5}.2020\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2020}{3}\)