\(\int x\left(x+1\right)^4dx\)

Đặt \(x+1=u\Rightarrow x=u-1\) ; \(dx=du\)

\(I=\int\left(u-1\right)u^4du=\int\left(u^5-u^4\right)du=\dfrac{1}{6}u^6-\dfrac{1}{5}u^5+C\)

\(=\dfrac{1}{6}\left(x+1\right)^6-\dfrac{1}{5}\left(x+1\right)^5+C\)

Đặt \(z=x+yi\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+\left(y-3\right)^2}+\sqrt{x^2+\left(y+3\right)^2}=10\)

Đây là quỹ tích của 1 elip không chính tắc

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta tính được:

\(AC=a\sqrt{2};AB'=a\sqrt{2};B'C=a\sqrt{2}\)

Do đó tam giác ACB’ là tam giác đều

\(\Rightarrow\left(\widehat{AC;AB'}\right)=\widehat{CAB'}=60^o\)

Lời giải:

Theo đề thì $z_1=2+i, z_2=2-i$. Khi đó:
$A=(z_1-1)^{2021}+(z_2-1)^{2022}=(i+1)^{2021}+(1-i)^{2022}$

Ta có:

$(i+1)^2=i^2+1+2i=(-1)+1+2i$

$(1-i)^2=1+i^2-2i=-2i$

$\Rightarrow A=(2i)^{1010}(i+1)+(-2i)^{1011}$
$=2^{1010}.(i^2)^{505}(i+1)+(-2)^{1011}.(i^2)^{505}.i$

$=2^{1010}.(-1)^{505}(i+1)+(-2)^{1011}.(-1)^{505}i$

$=-(i+1).2^{1010}+2^{1011}i$

$=2^{1010}(i-1)$

Phương trình d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+2t\\z=-1+t\end{matrix}\right.\) 

Gọi \(M\left(1+2t;1+2t;-1+t\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2t-5;2t+1;t-1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2t+1;2t+1;t+5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{\left(2t-5\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t-1\right)^2}+\sqrt{\left(2t+1\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t+5\right)^2}\)

\(=\sqrt{9t^2-18t+27}+\sqrt{9t^2+18t+27}\)

\(=\sqrt{\left(3-3t\right)^2+18}+\sqrt{\left(3+3t\right)^2+18}\)

\(\ge\sqrt{\left(3-3t+3+3t\right)^2+4.18}=6\sqrt{3}\)

mình cảm ơn ạ♥♥♥

Do \(x;y\in\left[0;2\right]\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2-x\right)\ge0\\y\left(2-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2x^2+4y^2\le4x+8y\)

\(P\le3^0+5^0+3^z+4\left(x+2y\right)=2+3^z+4\left(6-z\right)=3^z-4z+26\)

Xét hàm \(f\left(z\right)=3^z-4z+26\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(f'\left(z\right)=3^z.ln3-4=0\Rightarrow z=log_3\left(\dfrac{4}{ln3}\right)=a\)

\(f\left(0\right)=27\) ; \(f\left(2\right)=27\); \(f\left(a\right)\approx-1,1\)

\(\Rightarrow f\left(z\right)\le27\Rightarrow maxP=27\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;2;2\right)\))

Ồ mà khoan, bài trước bị nhầm lẫn ở chỗ \(3^{2x-x^2}+5^{2y-y^2}\ge3^0+5^0\) mới đúng, ko để ý bị ngược dấu đoạn này

Vậy giải cách khác:

\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow x\left(2-x\right)\ge0\Rightarrow2x-x^2\ge0\)

Lại có: \(2x-x^2=1-\left(x-1\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow0\le2x-x^2\le1\)

Tương tự ta có: \(0\le2y-y^2\le1\)

Xét hàm: \(f\left(t\right)=3^t-2t\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(f'\left(t\right)=3^t.ln3-2=0\Rightarrow t=log_3\left(\dfrac{2}{ln3}\right)=a\)

\(f\left(0\right)=1;\) \(f\left(1\right)=1\) ; \(f\left(a\right)\approx0,73\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\le1\Rightarrow3^t-2t\le1\Rightarrow3^t\le2t+1\)

\(\Rightarrow3^{2x-x^2}\le2\left(2x-x^2\right)+1\)

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: 

\(5^t\le4t+1\) với \(t\in\left[0;1\right]\Rightarrow5^{2y-y^2}\le4\left(2y-y^2\right)+1\)

\(3^t\le4t+1\) với \(t\in\left[0;2\right]\Rightarrow3^z\le4z+1\)

\(\Rightarrow P\le2\left(2x-x^2\right)+4\left(2y-y^2\right)+4z+3+2x^2+4y^2=4\left(x+2y+z\right)+3=27\)

Lần này thì ko sai được rồi

\(h\left(x\right)=f\left(x^2+1\right)-m\Rightarrow h'\left(x\right)=2x.f'\left(x^2+1\right)\)

\(h'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(x^2+1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2+1=2\\x^2+1=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)

Hàm có nhiều cực trị nhất khi \(h\left(x\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất

\(f\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x+C\)

\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=-\dfrac{199}{12}\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x-\dfrac{199}{12}\)

\(x=\pm2\Rightarrow x^2+1=5\Rightarrow f\left(5\right)\approx-18,6\)

\(x=\pm1\Rightarrow x^2+1=2\Rightarrow f\left(2\right)\approx6,1\)

\(x=0\Rightarrow x^2+1=1\Rightarrow f\left(1\right)=0\)

Từ đó ta phác thảo BBT của \(f\left(x^2+1\right)\) có dạng:

Từ đó ta dễ dàng thấy được pt \(f\left(x^2+1\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất khi \(0< m< 6,1\)

\(\Rightarrow\) Có 6 giá trị nguyên của m

f(5)≈−18,6 ở đâu ra vậy ạ?

NGUUUUUUUU

\(\left(1+i\right)^{20}=\left(\left(1+i\right)^2\right)^{10}=\left(2i\right)^{10}=\left(\left(2i\right)^2\right)^5=\left(4.i^2\right)^5=\left(-4\right)^5=-2^{10}\)

Cả 4 đáp án đều sai (bạn có thể kiểm tra kết quả dễ dàng bằng chế độ MODE-2 trong casio)