\(ĐKXĐ:x\ne1\)

Ta có : \(P=\frac{3x^2-4x}{\left(x-1\right)^2}=\frac{4\left(x^2-2x+1\right)-x^2+4x-4}{\left(x-1\right)^2}\)

\(=4-\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\)

Ta thấy : \(-\left(x-2\right)^2\le0,\left(x-1\right)^2>0\forall x\ne1\)

Do đó : 

\(P\le4\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy \(P_{Max}=4\) tại x = 2 

Để pt: \(x^2-3x+m-2=0\) có hai nghiệm : \(x_1;x_2\) điều kiện là:

\(\Delta=9-4\left(m-2\right)\ge0\)

<=> \(m\le\frac{17}{4}\)( @@)

Áp dụng định lí viet ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3\\x_1.x_2=m-2\end{cases}}\)=> \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9-4\left(m-2\right)=17-4m\ge0\)

=> \(x_1-x_2=\sqrt{17-4m}\)

Ta có: 

\(x_1^3-x_2^3+9x_1x_2=\left(x_1-x_2\right)^3+3\left(x_1-x_2\right)x_1x_2+9x_1x_2\)

\(=\sqrt{\left(17-4m\right)^3}+3\sqrt{17-4m}\left(m-2\right)+9\left(m-2\right)\)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\sqrt{\left(17-4m\right)^3}+3\sqrt{17-4m}\left(m-2\right)+9\left(m-2\right)=81\)

<=> \(\left(\sqrt{17-4m}\right)^3-3^3+3\left(m-2\right)\left(\sqrt{17-4m}-3\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{17-4m}-3\right)\left(17-4m+3\sqrt{17-4m}+9+3\left(m-2\right)\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{17-4m}-3\right)\left(20-m+3\sqrt{17-4m}\right)=0\)

TH1: \(\sqrt{17-4m}-3=0\Leftrightarrow17-4m=9\Leftrightarrow m=2\left(tm@@\right)\)

TH2: \(20-m+3\sqrt{17-4m}=0\)

<=> \(3\sqrt{17-4m}=m-20\)=> \(m-20\ge0\)=> \(m\ge20\) vô lí với (@@)

Vậy m = 2.

Ta có : 

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x+y}{xy}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT trên ta có : 

\(A=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\frac{c}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)

\(+\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi a=b=c 

Ta có: \(A=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\)

\(=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\frac{c}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c 

Vậy max A = 3/4 đạt tại a= b = c .

Áp dung BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)

\(=>x,y,z>0\left(taco\right)\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+xz}\)

\(=>P\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\)

\(=>P\ge\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{7}{xy+yz+xz}\)

\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)

\(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}\ge30\)

do \(3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2and\left(x+y+z=1\right)\)

dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3

zậy...........

gọi E là giao điểm của AC và PB, F là giao của AB cà PC

qua P kẻ đường thằng d song song với BC, giả sử E', F' lần lượt là giao của AC, AB với d

ta có: \(\frac{BM}{PF'}=\frac{CM}{PE'}\left(=\frac{AM}{PA}\right)\), mà BM=CM => PE'=PF'

do đó: \(\frac{PE}{EB}=\frac{PE'}{BC}=\frac{PF'}{BC}=\frac{PF}{BC}\Rightarrow EF//BC\Rightarrow\frac{EA}{AC}=\frac{FA}{AB}\)

gọi I là giao của HQ và AB, K là giao của HR và AC

áp dụng định lý Talet, ta có:

\(\frac{QI}{IH}=\frac{EA}{AC}=\frac{FA}{AB}=\frac{RK}{KH}\), do đó IK//QR (1)

^MAC=^AIK nên PM _|_ IK

Từ (1) => PM _|_ QR hay PA _|_ QR

Gọi S là giao của RA và PB

\(\frac{HI}{HK}=\frac{HQ}{HR}=\frac{HB}{HA}\Rightarrow\frac{HB}{HQ}=\frac{HA}{HR},\widehat{BHQ}=\widehat{AHR}\)

có tam giác BHQ đồng dạng với AHE => \(\widehat{QBH}=\widehat{RAH}\)

=> tứ giác BHAS nội tiếp

vậy ^ASB =90^o hay SR _|_ PQ 

=> A là trực tâm tam giác PQR