a) Gọi tọa độ của điểm D là \(\left( {x;y} \right)\) ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right)\), \(\overrightarrow {DC}  = \left( {5 - x;5 - y} \right)\)

Để ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} \)= \(\overrightarrow {DC} \)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}5 - x = 1\\5 - y = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy để ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là \(D\left( {4;2} \right)\)

b) Gọi M  là giao điểm của hai đường chéo, suy ra M là trung điểm của AC

Suy ra: \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2}\)

Vậy tọa đọ giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD  là \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;0} \right)\)

Suy ra: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \)

            \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {0^2}}  = 2\)

            \(\begin{array}{l}\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{1.3 + 3.3}}{{\sqrt {10} .3\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat A \approx 26^\circ 33'\\\cos B = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{BA.BC}} = \frac{{\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 3} \right)0}}{{\sqrt {10} .2}} =  - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat B = 108^\circ 26'\\\widehat C = 180^\circ  - \widehat A - \widehat B = 180^\circ  - 26^\circ 33' - 108^\circ 26' = 45^\circ 1'\end{array}\)

a) H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox nên tọa độ điểm H là \(H\left( {{x_0};0} \right)\)

b) M’ đối xứng với M qua  trục Ox nên H là trung điểm của MM’

Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2{x_0} - {x_0} = {x_0};{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.0 - {y_0} =  - {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm M’  là \(\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\)

c) K là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy  nên tọa độ điểm K  là \(K\left( {0;{y_0}} \right)\)

d) M’’ đối xứng với M qua  trục Oy nên K là trung điểm của MM’’

Suy ra \({x_{M''}} = 2{x_K} - {x_M} = 2.0 - {x_0} =  - {x_0};{y_{M''}} = 2{y_K} - {y_M} = 2{y_0} - {y_0} = {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm M''  là \(\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\)

e) C đối xứng với M qua  gốc tọa độ nên O là trung điểm của MC

Suy ra \({x_C} = 2{x_O} - {x_M} = 2.0 - {x_0} =  - {x_0};{y_C} = 2{y_O} - {y_M} = 2.0 - {y_0} =  - {y_0}\)

Vậy tọa độ điểm C  là \(\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

a) Vì điểm thuộc hoành độ có tung độ bằng 0 nên ta có điểm B thuộc trục hoành

b) Vì điểm thuộc tung độ có hoành độ bằng 0 nên ta có điểm C thuộc trục tung

c) Vì điểm thuộc góc phần tư thứ nhất có tung độ bằng hoành độ nên ta có điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất là điểm D

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là \(\left( {2;7} \right)\)

b) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow b \) là \(\left( { - 1;3} \right)\)

c) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow c \) là \(\left( {4;0} \right)\)

d) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow d \) là \(\left( {0; - 9} \right)\)

a) Ta thấy \(4 = ( - 2).( - 2); - 6 = ( - 2).3 \Rightarrow \overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow b \)

\( - 2 < 0\) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng (đpcm)

b) Ta thấy \( - 8 = 4.( - 2);12 = 4.3 \Rightarrow \overrightarrow b  = 4\overrightarrow a \)

\(4 > 0\) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng  (đpcm)

c) Ta thấy \(0 =  - 1.0;4 = ( - 1).( - 4) \Rightarrow \overrightarrow a  =  - \overrightarrow b \)

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đối nhau (đpcm)

a)

b)  Ta có: Tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) lần lượt là: -5; 5

Ta có \(\overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {CD} \)

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {60;10} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {42; - 43} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 18; - 53} \right)\)

\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{60.42 + 10.( - 43)}}{{\sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}} .\sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}} }} \simeq 0,572 \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 55^\circ 8'\)

b)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{60}^2} + {{10}^2}}  = 10\sqrt {37} \) (km)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là \(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{42}^2} + {{\left( { - 43} \right)}^2}}  = \sqrt {3613} \) (km)

a) Ta có: \(\overrightarrow {EF}  = \left( { - 2;4} \right)\)

Gọi tọa độ điểm H là \(\left( {x;y} \right)\) ta có \(\overrightarrow {DH}  = \left( {x - 2;y - 2} \right),\overrightarrow {EH}  = \left( {x - 6;y - 2} \right)\)

H là chân đường cao nên \(\overrightarrow {DH}  \bot \overrightarrow {EF} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DH}  \bot \overrightarrow {EF}  \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).\left( { - 2} \right) + \left( {y - 2} \right).4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 4y - 4 = 0\end{array}\) (1)

Hai vectơ \(\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EF} \) cùng  phương

 \( \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right).( - 2) - \left( {y - 2} \right).4 = 0 \Leftrightarrow  - 2x - 4y + 20 = 0\)            (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 4y - 4 = 0\\ - 2x - 4y + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(H(4;3)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {DE}  = (4;0),\overrightarrow {DF}  = (0;4),\overrightarrow {EF}  = ( - 4;4)\)

Suy ra: \(DE = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| = \sqrt {{4^2} + {0^2}}  = 4,DF = \left| {\overrightarrow {DF} } \right| = \sqrt {{0^2} + {4^2}}  = 4\)

            \(EF = \left| {\overrightarrow {EF} } \right| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 \)

            \(\begin{array}{l}\cos D = \cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {DE} .\overrightarrow {DF} }}{{DE.DF}} = \frac{{4.0 + 0.4}}{{4.4}} = 0 \Rightarrow \widehat D = 90^\circ \\\cos E = \cos \left( {\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {EF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {ED} .\overrightarrow {EF} }}{{ED.EF}} = \frac{{\left( { - 4} \right).\left( { - 4} \right) + 0.4}}{{4.4\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat E = 45^\circ \\\widehat F = 180^\circ  - \widehat D - \widehat E = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \end{array}\)

a) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0\)

b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = {a_1}.k{a_2} - {a_2}.k{a_1} = 0\)

c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}}  =  \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \)

d) \(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)

e) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}\)

a) \({x_M} = \frac{{{x_Q} + {x_S}}}{2} = \frac{{7 + ( - 2)}}{2} = \frac{5}{2}; \\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S}}}{2} = \frac{{( - 2) + 8}}{2} = 3\)

Vậy \(M\left( {\frac{5}{2};3} \right)\)

b) 

\({x_G} = \frac{{{x_Q} + {x_S} + {x_R}}}{3} = \frac{{7 + ( - 2) + ( - 4)}}{3} = \frac{1}{3};\\{y_M} = \frac{{{y_Q} + {y_S} + {y_R}}}{3} = \frac{{( - 2) + 8 + 9}}{3} = 5\)

Vậy \(G\left( {\frac{1}{3};5} \right)\)