\(\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2012}+\left|y-\frac{1}{4}\right|^{2000}+\left(x-y-z\right)^{2014}=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+\frac{2}{3}=0\\y-\frac{1}{4}=0\\x-y-z=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\y=\frac{1}{4}\\z=-\frac{11}{12}\end{cases}}\).

Bài 1 :

Để \(A=\frac{x+15}{x-2}\)là số nguyên thì :

x + 15 ⋮ x - 2

=> ( x - 2 ) + 17 ⋮ x - 2

Mà x - 2 ⋮ x - 2 ∀ x ∈ Z

=> 17 ⋮ x - 2

=> x - 2 ∈ { -17 ; -1 ; 1 ; 17 }

=> x ∈ { -15 ; 1 ; 3 ; 19 }

Để \(B=\frac{3x+4}{x-3}\)nhận giá trị nguyên thì :

3x + 4 ⋮ x - 3

=> 3( x - 3 ) + 13 ⋮ x - 3

Mà 3( x - 3 ) ⋮ x - 3 ∀ x ∈ Z

=> 13 ⋮ x - 3

=> x - 3 ∈ { -13 ; -1 ; 1 ; 13 }

=> x ∈ { -10 ; 2 ; 4 ; 16 }

Ví dụ 1: 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{x}{9}=\frac{y}{5}=\frac{z}{10}=\frac{x-y+z}{9-5+10}=\frac{70}{14}=5\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5.9=45\\y=5.5=25\\z=5.10=50\end{cases}}\)

Ví dụ 2, 3: Tương tự. 

Ví dụ 4: 

\(\frac{x}{y}=\frac{7}{10}\Leftrightarrow\frac{x}{7}=\frac{y}{10},\frac{y}{z}=\frac{10}{13}\Leftrightarrow\frac{y}{10}=\frac{z}{13}\Rightarrow\frac{x}{7}=\frac{y}{10}=\frac{z}{13}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{x}{7}=\frac{y}{10}=\frac{z}{13}=\frac{x+y+z}{7+10+13}=\frac{120}{30}=4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4.7=28\\y=4.10=40\\z=4.13=52\end{cases}}\)

Ví dụ 5: 

\(3x=4y=5z\Leftrightarrow\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{12}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{12}=\frac{x-y-z}{20-15-12}=\frac{-42}{-7}=6\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6.20=120\\y=6.15=90\\z=6.12=72\end{cases}}\).