a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-\dfrac{1}{4}x^2=-x-3\)

=>\(\dfrac{1}{4}x^2-x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-12=0\)
=>(x-6)(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Khi x=6 thì \(y=-6-3=-9\)

Khi x=-2 thì \(y=-\left(-2\right)-3=2-3=-1\)
Vậy: (P) cắt (d) tại A(6;-9); B(-2;-1)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{2}{a+2}\ne\dfrac{a-2}{-2}\)

=>\(\left(a+2\right)\left(a-2\right)\ne-4\)

=>\(a^2\ne0\)

=>\(a\ne0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+\left(a-2\right)y=a+1\\\left(a+2\right)x-2y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2a+4\right)x+\left(a^2-4\right)y=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\\\left(2a+4\right)x-4y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2y=a^2+3a+2-6=a^2+3a-4\\2x+\left(a-2\right)y=a+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{a^2+3a-4}{a^2}\\2x=a+1-\dfrac{\left(a-2\right)\left(a^2+3a-4\right)}{a^2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{a^2+3a-4}{a^2}\\2x=\dfrac{a^3+a^2-a^3-3a^2+4a+2a^2+6a-8}{a^2}=\dfrac{10a-8}{a^2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5a-4}{a^2}\\y=\dfrac{a^2+3a-4}{a^2}\end{matrix}\right.\)

\(x+y=\dfrac{a^2+3a-4+5a-4}{a^2}=\dfrac{a^2+8a-8}{a^2}\)

\(=1+\dfrac{8}{a}-\dfrac{8}{a^2}\)

\(=-8\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{8}\right)\)

\(=-8\left(\dfrac{1}{a^2}-2\cdot\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{8}\right)\)

\(=-8\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2+3< =3\forall a\ne0\)
Dấu '=' xảy ra khi a=2

Dễ chứng minh được phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=3\end{matrix}\right.\).

Ta có: \(A=\dfrac{5x_1-x_2}{x_1}+\dfrac{x_1-5x_2}{x_2}\)

\(=5-5+\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\)

\(=\dfrac{x_1^2-x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}{x_1x_2}\) (*).

\(=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}}{x_1x_2}\)

\(=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}{x_1x_2}\)

Từ (*), suy ra: \(A=\pm\dfrac{4\sqrt{4^2-4\cdot3}}{3}=\pm\dfrac{8}{3}\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{3}{2}\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(\dfrac{x_1^2}{x_1-2}+\dfrac{x_2^2}{x_2-2}=\dfrac{x_1^2}{x_1+x_1x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_2+x_1x_2}\)

\(=\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}=\dfrac{x_1^2+x_1+x_2^2+x_2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)+1}\)

\(=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2\cdot\left(-2\right)+\dfrac{3}{2}}{-2+\dfrac{3}{2}+1}=\dfrac{31}{2}\)

$\text{#}Toru$

không có tính denta

vì pt có 2 nghiệm sẳn rồi 

a: Xét tứ giác OHCA có \(\widehat{AHC}=\widehat{AOC}=90^0\)

nên OHCA là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét ΔAON vuông tại O và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{OAN}\) chung

Do đó: ΔAON~ΔAMB

=>\(\dfrac{AO}{AM}=\dfrac{AN}{AB}\)

=>\(AM\cdot AN=AO\cdot AB=2R^2\) không đổi

em chịu

Pt hoành độ giao điểm: 

\(4x^2=17x-m-1\Leftrightarrow4x^2-17x+m+1=0\)

\(\Delta=17^2-16\left(m+1\right)>0\Rightarrow m< \dfrac{273}{16}\)

Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm ko âm pb

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=\dfrac{17}{4}>0\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{4}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

Khi đó:

\(\sqrt{x_1}=1+2\sqrt{x_2}\)

\(\Leftrightarrow x_1=1+4x_2+4\sqrt{x_2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{17}{4}-x_2=1+4x_2+4\sqrt{x_2}\)

\(\Leftrightarrow5x_2+4\sqrt{x_2}-\dfrac{13}{4}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x_2}=-\dfrac{13}{10}\left(loại\right)\\\sqrt{x_2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow x_1=\dfrac{17}{4}-x_2=4\)

Thế vào \(x_1x_2=\dfrac{m+1}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{m+1}{4}=1\Rightarrow m=3\)

1: Thay m=2 vào (1), ta được:

\(x^2-\left(2+2\right)x+2+1=0\)

=>\(x^2-4x+3=0\)

=>(x-1)(x-3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

2: \(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m+1\right)\)

\(=m^2+4m+4-4m-4=m^2\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì m^2>0

=>\(m\ne0\)

Khi m\(\ne0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\left(m+2\right)-\sqrt{m^2}}{2}=\dfrac{m+2-m}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\x=\dfrac{m+2+m}{2}=\dfrac{2m+2}{2}=m+1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2-2x_2=7\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}1^2-2\left(m+1\right)=7\\\left(m+1\right)^2-2=7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2\left(m+1\right)=-6\\\left(m+1\right)^2=9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+1=3\\m+1=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-4\end{matrix}\right.\)

\(M=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\)

Vì \(\sqrt{x}+1< \sqrt{x}+3\)

nên \(M=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}< 1\)

=>0<M<1

=>\(M< \sqrt{M}\)