Áp dụng Cauchy Schwarz

\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{9}{z}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{25}{x+y+z}=25\)

Đẳng thức xảy ra bạn tự giải

\(ab+bc+ca=2011abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2011\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=2011\)

Khi đó:

\(Q=\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}+\frac{y^3}{\left(z+x\right)^2}+\frac{z^3}{\left(x+y\right)^2}\)

Sử dụng AM - GM:

\(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}+\frac{y+z}{8}+\frac{y+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\cdot\frac{\left(y+z\right)^2}{8^2}}=\frac{3x}{4}\)

Tương tự cộng lại sử dụng giả thiết ta có đpcm

x² + 2y² + 2xy + 3y - 4 = 0

<=> 4x² + 8y² + 8xy + 12y - 16 = 0

<=> (4x² + 8xy + 4y²) + (4y² + 12y + 9) = 25

<=> (2x+  2y)² +  (2y + 3)² = 25 = 0 + 5² = 3² + 4²

Do x;y là số nguyên và 2y + 3 là số lẻ => (2y + 3)² thuộc {5²; 3²}

Xét các TH xảy ra:

+)\(\hept{\begin{cases}2x+2y=0\\2y+3=5\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\y=1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=0\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+2y=0\\2y+3=-5\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2y+3=3\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+2y=-4\\2y+3=-3\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2y+3=-3\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}2x+2y=-4\\2y+3=3\end{cases}}\)

(Tự tính x;y)

Bài làm:

Ta có: \(A=\sqrt{3+2x-x^2}=\sqrt{4-\left(x^2-2x+1\right)}=\sqrt{4-\left(x-1\right)^2}\)

Mà \(4-\left(x-1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\)vì điều kiện để A xác định

Nên dấu "=" xảy ra khi: \(4-\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=2\\x-1=-2\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy \(Min\left(A\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)

Ta có : \(\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}\) ( vì \(x^2+y^2+z^2=1\)) 

Vì x^2 + y^2 + z^2 = 1 ; x,y,z > 0 nên : 0 < x ; y ; z < 1 

Đến đây , dùng UCT , ta đánh giá được : \(\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}\) ( với 0 < x < 1 )  (1) 

CMTT , ta có : \(\frac{y}{x^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}y^2+\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}z^2+\frac{\sqrt{3}}{3}\) (2)

Lấy (1) cộng (2) ra đpcm ....