1: \(3^{x+2}+9^{x+1}=4\)

=>\(3^{x+2}+3^{2x+2}=4\)

=>\(3^x\cdot9+3^{2x}\cdot9=4\)

=>\(9\cdot\left(3^x+3^{2x}\right)=4\)

=>\(3^x+3^{2x}=\dfrac{4}{9}\)(1)

Đặt \(a=3^x\left(a>0\right)\)

Phương trình (1) sẽ trở thành \(a+a^2=\dfrac{4}{9}\)

=>\(a^2+a-\dfrac{4}{9}=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\left(nhận\right)\\a=-\dfrac{4}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(3^x=\dfrac{1}{3}\)

=>x=-1

2: \(2^{2x+6}+2^{x+7}-17>0\)

=>\(2^{2x}\cdot64+2^x\cdot128-17>0\)

=>\(64\left(2^{2x}+2^x\cdot2\right)>17\)

=>\(2^{2x}+2^x\cdot2>\dfrac{17}{64}\)(2)

Đặt \(b=2^x\left(b>0\right)\)

(2) sẽ trở thành \(b^2+b\cdot2>\dfrac{17}{64}\)

=>\(b^2+2b-\dfrac{17}{64}>0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}b>\dfrac{1}{8}\left(nhận\right)\\b< -\dfrac{17}{8}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(2^x>\dfrac{1}{8}\)

=>x>-3

3: \(9^x-2\cdot3^{x+1}+5< 0\)

=>\(\left(3^x\right)^2-6\cdot3^x+5< 0\)

=>\(\left(3^x-1\right)\left(3^x-5\right)< 0\)

=>\(1< 3^x< 5\)

=>\(0< x< log_35\)

Gọi \(A_1\) là biến cố: "quả cầu lấy ra thuộc thùng I"

\(A_2\) là biến cố: "quả cầu lấy ra thuộc thùng II"

\(A_3\) là biến cố: "quả cầu lấy ra thuộc thùng III"

\(\Rightarrow A_1;A_2;A_3\) là nhóm biến cố đầy đủ

Gọi B là biến cố: "quả cầu lấy ra là cầu trắng".

\(\Rightarrow P\left(B|A_1\right)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5};P\left(B|A_2\right)=\dfrac{5}{11};P\left(B|A_3\right)=\dfrac{1}{4}\)

Khi lấy ngẫu nhiên 1 thùng từ 3 thùng, xác suất được chọn của 3 thùng bằng nhau: \(P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=P\left(A_3\right)=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\left(B\right)=P\left(B|A_1\right).P\left(A_1\right)+P\left(B|A_2\right).P\left(A_2\right)+P\left(B|A_3\right).P\left(A_3\right)\)

\(=\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{11}.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{287}{660}\)

a.

\(P\left(A_2|B\right)=\dfrac{P\left(A_2\right).P\left(B|A_2\right)}{P\left(B\right)}=\dfrac{100}{287}\)

b.

\(P\left(A_1|B\right)=\dfrac{P\left(A_1\right).P\left(B|A_1\right)}{P\left(B\right)}=\dfrac{132}{287}\)

Do \(P\left(A_1|B\right)>P\left(A_2|B\right)\) nên xác suất nó thuộc thùng I cao hơn

\(v\left(t\right)=s'\left(t\right)=4t+1\)

a.

\(t=2\Rightarrow v\left(2\right)=4.2+1=9\) (m/s)

b.

\(s\left(t\right)=2t^2+t-1=2\Rightarrow2t^2+t-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-\dfrac{3}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v\left(1\right)=4.1+1=5\) (m/s)

c.

\(s\left(t\right)-\left[\left(t+1\right).s\left(t\right)\right]'+27=0\)

\(\Leftrightarrow2t^2+t-1-\left[\left(t+1\right)\left(2t^2+t-1\right)\right]'+27=0\)

\(\Leftrightarrow2t^2+t+26-\left(2t^3+3t^2-1\right)'=0\)

\(\Leftrightarrow2t^2+t+26-\left(6t^2+6t\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-4t^2-5t+26=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-\dfrac{13}{4}\end{matrix}\right.\) có 2 nghiệm (nhưng nếu kèm thêm điều kiện thời gian \(t>0\) thì pt chỉ có 1 nghiệm thỏa mãn)

Câu này có thể chứng minh mà ko cần tính ra thể tích cụ thể:

\(HC=\dfrac{1}{2}AC\Rightarrow S_{\Delta SHC}=\dfrac{1}{2}S_{\Delta SAC}\) \(\Rightarrow\dfrac{S_{\Delta SHC}}{S_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BK\cap\left(SAC\right)=S\\BS=2KS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(B;\left(SAC\right)\right)=2d\left(K;\left(SAC\right)\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{d\left(K;\left(SAC\right)\right)}{d\left(B;\left(SAC\right)\right)}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{V_{S.HKC}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}.d\left(K;\left(SAC\right)\right).S_{\Delta SHC}}{\dfrac{1}{3}d\left(B;\left(SAC\right)\right).S_{\Delta SAC}}=\dfrac{d\left(K;\left(SAC\right)\right)}{d\left(B;\left(SAC\right)\right)}.\dfrac{S_{\Delta SHC}}{S_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

\(z=x+yi\) ; \(w=a+bi\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(x;y\right)\\B\left(a;b\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Rightarrow ax+by=0\)

\(z.\overline{w}=\left(x+yi\right).\left(a-bi\right)=ax+by+\left(ay-bx\right)i=\left(ay-bx\right)i\) là số thuần ảo (do phần thực \(ax+by=0\))

Trên \(\left[0;3\right]\) hàm \(y=x^2-3x\) âm nên ta cần "xoay" nó lên thành \(y=3x-x^2\)

Khi đó:

Pt hoành độ giao điểm trên \(\left[0;3\right]\): \(3x-x^2=x\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Pt hoành độ giao điểm với \(x>3\): \(x^2-3x=x\Rightarrow x=4\)

Do đó:

\(V=\pi\int\limits^2_0\left(3x-x^2\right)^2dx+\pi\int\limits^4_2x^2dx-\pi\int\limits^4_3\left(x^2-3x\right)^2dx=\dfrac{611\pi}{30}\)

\(\Rightarrow18a-300b=1998\)

Gọi pt (P) dạng \(ax+by+cz+d=0\) (với a;b;c ko đồng thời bằng 0)

Do (P) song song d nên:

\(-4a+3b+c=0\) \(\Rightarrow c=4a-3b\)

Do (P) qua M nên: \(-b+c+d=0\) \(\Rightarrow-b+4a-3b+d=0\)

\(\Rightarrow d=-4a+4b\)

\(\Rightarrow\left(P\right):ax+by+\left(4a-3b\right)z-4a+4b=0\)

Mặt cầu (S) tâm \(I\left(1;2;0\right)\) bán kính \(R=3\)

(P) tiếp xúc (S) \(\Rightarrow d\left(I;\left(P\right)\right)=R\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|a+2b-4a+4b\right|}{\sqrt{a^2+b^2+\left(4a-3b\right)^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=17a^2+10b^2-24ab\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4a=3b\\2a=b\end{matrix}\right.\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left(3;4\right);\left(1;2\right)\)

\(\Rightarrow\left(P\right):ax+by+\left(4a-3b\right)z-4a+4b=0\)

Có 2 mp thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3x+4y+4=0\\x+2y-2z+4=0\end{matrix}\right.\)