\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{1}-\sqrt{2}\right)}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}+..+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\left(\sqrt{99}+\sqrt{100}\right)\left(\sqrt{99}-\sqrt{100}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9\)

Xét \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{a+1}\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{a-\left(a+1\right)}=-\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\)

Xét dãy tính: \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(=-\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-...-\sqrt{99}+\sqrt{100}\)

\(=-\sqrt{1}+\sqrt{100}=-1+10=9\)

a) \(\frac{2\sqrt{5}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}-\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{2\sqrt{5ab}+ab\sqrt{b}}{ab}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{5ab}+ab\sqrt{b}\right)\left(a-b\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)ab}{ab\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{2a\sqrt{5ab}-2b\sqrt{5ab}+a^2b\sqrt{b}-ab^2\sqrt{b}-ab\sqrt{a}-ab\sqrt{b}}{ab\left(a-b\right)}\)

b) \(\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(\frac{1+1+\sqrt{a}}{1-a^2}\right)^2\)

\(=\left(1+\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(\frac{2+\sqrt{a}}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right)^2\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left[\frac{2+\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+a\right)}\right]^2\)

\(=\frac{4+4\sqrt{a}+a}{\left(1-\sqrt{a}\right)^2\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+a\right)^2}\)  \(a\ge0;a\ne\pm1\)

Bổ sung đk của phần a: \(a,b>0;a\ne b\)

a) \(\frac{\sqrt{110}+\sqrt{70}}{\sqrt{22}+\sqrt{14}}=\frac{\left(\sqrt{11}+\sqrt{7}\right)\sqrt{10}}{\left(\sqrt{11}+\sqrt{7}\right)\sqrt{2}}=\sqrt{5}\)

b) \(\frac{\sqrt{42}-6}{\sqrt{21}-\sqrt{18}}=\frac{\sqrt{42}-\sqrt{36}}{\sqrt{21}-\sqrt{18}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)\sqrt{6}}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)\sqrt{3}}=\sqrt{2}\)

c) \(\frac{\left(a-b\right)\sqrt{a^2-b^2}}{\left(a-b\right)^2}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}{a-b}\)

a)

XÉT    \(\Delta=4\left(m+1\right)^2-8m=4m^2+8m+4-8m=4m^2+4\ge0+4=4>0\)

=>   \(\Delta>0\)     

=>    PT CÓ 2 NGHIỆM PHÂN BIỆT VỚI MỌI GIÁ TRỊ m.

b)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\left(1\right)\\x_1.x_2=2m\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2\)

<=>   \(x_1^2+x_2^2+4m=4m^2+8m+4\)

<=>   \(x_1^2+x_2^2=4m^2+4m+4=4m^2+4m+1+3=\left(2m+1\right)^2+3\ge3\forall m\)

=>    \(x_1^2+x_2^2\ge3\)

DẤU "=" XẢY RA <=>   \(\left(2m+1\right)^2=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)

a) \(\Delta^'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+2m+1-2m=m^2+1>0\forall m\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\forall m\)

b) Theo định lý Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)=-2m-2\\x_1x_2=2m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

                     \(=\left(-2m-2\right)^2-2.2m\)

                     \(=4m^2+8m+4-4m\)

                     \(=4m^2+4m+4=\left(2m+1\right)^2+3\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-1\end{cases}}\)

Đến đây thì bạn tìm ra \(x_1;x_2\)là nghiệm của \(x^2+x-1=0\)và kết luận GTNN.

DO:    \(x;y;z\in[-1;2]\Rightarrow-1\le x;y;z\le2\)

=>   \(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le0;\left(y+1\right)\left(y-2\right)\le0;\left(z+1\right)\left(z-2\right)\le0\)

=>    \(x^2-x-2\le0;y^2-y-2\le0;z^2-z-2\le0\)

=>   \(x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)-6\le0\)

=>   \(x^2+y^2+z^2\le x+y+z+6\)

=>   \(x^2+y^2+z^2\le6\)

DẤU "=" XẢY RA <=>   

\(\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;2\right);\left(-1;2;-1\right);\left(2;-1;-1\right);\left(-2;1;1\right);\left(1;-2;1\right);\left(1;1;-2\right)\)    

a) ABCD là hình chữ nhật nên BD=AC=15cm

b) AH vuông góc với BD tại H --> Khoảng cách A tới BD là độ dài AH

Xét tam giác ABD vuông tại A, đường cao AH: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AB^2}\)

Định lí Pythagoras: \(BD^2=AD^2+AB^2\)

Đã biết AB=8cm, BD=15cm ---> Dễ dàng tính được AH= 6,767cm

\(\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^2-4\sqrt{40}}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}=\frac{7+2\sqrt{10}-4.2\sqrt{10}}{7-2\sqrt{10}}=\frac{7-2\sqrt{10}}{7-2\sqrt{10}}=1\)

a) M,N thuộc đường tròn đường kính BC=> Tam giác BMC và tam giác BNC vuông tại M,N

Mà \(\widehat{MAN}=45\Rightarrow\)Tam giác MAC và tam giác NAB vuông cân tại M,N 

Khi đó: \(\hept{\begin{cases}OA=OC\\MA=MC\end{cases}\Rightarrow}\)OM là đường trung trực của AC \(\Rightarrow OM\perp AC\)

\(\hept{\begin{cases}OA=OB\\NA=NB\end{cases}\Rightarrow}\)ON là đường trung trực của AB \(\Rightarrow ON\perp AB\)

Vậy O là trực tâm tam giác ABC.

b) \(B,C\in\left(O,OA\right)\Rightarrow OB=OC\)

O thuộc đường tròn đường kính BC=> Tam giác OBC vuông cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OBC}=45\)

Tam giác NBA vuông cân tại N \(\Rightarrow\widehat{NBA}=45\)

Vì \(\widehat{OBC}=\widehat{NBA}\) là các góc tại B chắn các cung nhỏ OC và MN của đường tròn đường kính BC \(\Rightarrow MN=OC=BCcos45=\frac{BC}{\sqrt{2}}\)

c) \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AM.AN.sin\widehat{MAN}}{\frac{1}{2}AB.AC.sin\widehat{BAC}}=\left(\frac{AM}{AC}\right)\left(\frac{AN}{AB}\right)=cos\widehat{MAN}.cos\widehat{BAC}=cos^245=\frac{1}{2}\)