Bạn tự vẽ hình nhé!

Vì tam giác ABC vuông tại A

=> 3 điểm A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

mà O là trung điểm BC=> O là tâm đường tròn

=> đpcm
b) Xét tam giác ABC vuông tại A

=> AB^2 + AC^2 = BC^2 ( Py ta go)

=> 14^2 + 48^2 = BC^2

=> BC^2 =2500

=> BC =50(cm)

=> OB= OC= bán kính (O) = BC/2 = 50/2 = 25(cm)

tự làm

cho anh tao đê

a;b dễ chắc tự làm đc

c, lấy K sao cho M là trđ của OK

mà có M là trđ của AC (gt) 

=> COAK là hình bình hành (dh)

=> CK // OA hay CK // OH và AK // CO hay AK // OD

xét tg KCB có CK // OH => \(\frac{BH}{HC}=\frac{BO}{OK}\)  (talet)

xét tg KAB có AK / OD => \(\frac{BO}{OK}=\frac{BD}{DA}\) (talet)

=> \(\frac{BH}{HC}=\frac{BD}{AD}\) mà có \(\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}\) do CD là pg của tg ABC (gt)

=> \(\frac{BC}{AC}=\frac{HB}{HC}\Rightarrow BC\cdot HC=HB\cdot AC\)

mà có \(BC\cdot HC=AC^2\) do tg ABC v tại A và AH _|_ BC (gt)

=> AC^2 = HB*AC

=> AC = HB (chia 2 vế cho ac vì ac > 0)

Theo định lý Ce-va ta có: \(\frac{BH}{HC}.\frac{MC}{MA}.\frac{DA}{DB}=1\)

Mà MA = MC (do BM là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC) nên \(\frac{BH}{HC}.\frac{DA}{DB}=1\)(1)

CD là phân giác nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{BC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BH}{HC}.\frac{AC}{BC}=1\Rightarrow BH.AC=HC.BC\)(3)

Dễ thấy \(\Delta ABC~\Delta HAC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HC}{AC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC^2=BH.HC\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AC^2=BH.AC\Rightarrow BH=AC\left(đpcm\right)\)

                                                                  Bài giải

Ta có : 

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}\\\sqrt{3}\\\sqrt{5}\end{cases}}\text{ là số vô tỉ}\)

\(\Rightarrow\text{ }\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\) là số vô tỉ

((( Không biết có phải vậy không ))))

ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne9\)

a) \(P=\frac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}+\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}-\frac{3\left(3\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x-3}\right)}\)

\(=\frac{\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+3\left(3\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{3x-9\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6+2x+2\sqrt{x}-3\sqrt{x}-3-9\sqrt{x}+15}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{5x-17\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{5x-15\sqrt{x}-2\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\left(5\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)

b) Ta có: \(x=4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}+1\)

Do đó: \(P=\frac{5\left(\sqrt{3}+1\right)-2}{\left(\sqrt{3}+1\right)+1}=\frac{5\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(5\sqrt{3}+3\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=7\sqrt{3}-9\)

c) Ta có \(P=\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=\frac{5\sqrt{x}+5-7}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=5-\frac{7}{\sqrt{x}+1}\)

Vì \(\frac{7}{\sqrt{x}+1}>0\)nên \(P\)có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\frac{7}{\sqrt{x}+1}\)lớn nhất

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\)nhỏ nhất \(\Leftrightarrow x=0\)

Khi đó min_P=5-7=-2

Đặt \(\sqrt{x+3}=a\Rightarrow x+3=a^2\)

\(\Rightarrow3=a^2-x\)

Ta có phương trình mới là :

 \(\left(2x-1\right)a=x^2+a^2-x \)

\(\Leftrightarrow x^2+a^2-x-2ax+a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ax+x^2\right)+\left(a-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x\right)^2-\left(a-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x\right)\left(a-x-1\right)=0\)

Với \(a-x=0\Leftrightarrow a=x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}=x\)  \(\left(x\ge-3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)t/m

Với  \(a-x-1=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}=x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy...

\(đk:-5\le x\le3\)

\(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}=2\left(\sqrt{15-2x-x^2}+1\right)\)                     (1)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}=2\left(\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+5}=\sqrt{3-x}=2\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}+2\)

đặt \(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}=t\)   (đk t > 0)

\(\Leftrightarrow t^2=x+5+2\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}+3-x\)

\(\Leftrightarrow t^2=8+2\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow t^2=6+\left(2+2\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\right)\)    và (1)

\(\Rightarrow t=t^2-6\)

\(\Leftrightarrow t^2-t-6=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-2\left(loai\right)\\t=3\end{cases}}\)    

ta có : \(8+2\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}=3^2=9\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(3-x\right)=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow59-8x-4x^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+8x+4-63=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+1\right)^2=63\) \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=\frac{63}{4}\Leftrightarrow x+1=\pm\sqrt{\frac{63}{4}}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{63}{4}}-1\left(tm\right)\)

ĐKXĐ : \(x\ne-\frac{1}{3}\)

Ta có : \(\sqrt{x^2+x+2}=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+2}-2=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x+2-4}{\sqrt{x^2+x+2}+2}=\frac{3x^2+3x+2-6x-2}{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}=\frac{3x^2-3x}{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x\left(x-1\right)}{3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x}{3x+1}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)( Thỏa mãn )

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=5.5\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)=25\)

\(\Leftrightarrow\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=25\)

mà ac + bd = 3

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2=25-3^2=16\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}ad-bc=4\\ad-bc=-4\end{cases}}\)

a)\(\frac{1}{\left(n+1\right).\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2.n-n^2\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

b)\(S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}\)

\( S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)

\(a,\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(n+1-n\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

b, \(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)