\(ĐK:x\ge0\)

Ta có : \(A=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3\left(\sqrt{x}+3\right)+16}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\left[\sqrt{x}+3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}\right]-6\)

\(\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right)\cdot\frac{16}{\sqrt{x}+3}}-6\)\(=2.4-6=2\)

Hay : \(A\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\) ( thỏa mãn )

Vậy \(A_{min}=2\) khi \(x=1\)

\(A=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}-2+2=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+2\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+3}+2\ge2,\forall x\ge0\)

Vậy \(A_{min}=2\Leftrightarrow\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1\)

a) \(\sqrt{11+4\sqrt{7}}-\sqrt{11-4\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{7+4\sqrt{7}+4}-\sqrt{7-4\sqrt{7}+4}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}+2\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{7}+2\right|-\left|\sqrt{7}-2\right|\)

\(=\sqrt{7}+2-\sqrt{7}+2=4\)

a) \(\sqrt{11+4\sqrt{7}}-\sqrt{11-4\sqrt{7}}=\sqrt{\left(2+\sqrt{7}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^2}=2+\sqrt{7}-\sqrt{7}+2=4\)

b) \(A=\sqrt{11-4\sqrt{6}}-\sqrt{11+4\sqrt{6}}\)

\(\Rightarrow A^2=11-4\sqrt{6}-2\sqrt{\left(11-4\sqrt{6}\right)\left(11+4\sqrt{6}\right)}+11+4\sqrt{6}\)

\(A^2=22-2\sqrt{121-96}\)

\(A^2=22-2\sqrt{25}=22-2.5=12\)

\(\Rightarrow A=-\sqrt{12}\)(Chú ý \(A< 0\))

G/s : \(\sqrt{7}\)là số hữu tỉ , như vậy \(\sqrt{7}\)viết dưới dạng phân số tối giản m/n tức là \(\sqrt{7}=\frac{m}{n}\)

=> \(7=\frac{m^2}{n^2}\)hay 7n² = m² (1)

Đẳng thức (1) => m² \(⋮\)7 mà 7 là số nguyên tố => m \(⋮\)7

Đặt m = 7k ( k \(\inℤ\))

=> m² = (7k)² = 49k² (2)

Từ (1) và (2) => 7n² = 49k² => n² = 7k² ( vì chia cho 7) (3)

Từ (3) lại có : n² \(⋮\)7 và 7 là số nguyên tố => n \(⋮\)7

Do đó \(m⋮7,n⋮7\) mà phân số m/n không tối giản nên trái với giả thiết

=> \(\sqrt{7}\)không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ

b) Định lí PYTAGO cho tam giác AHM vuông tại H: \(AM^2=AH^2+HM^2\Rightarrow AH^2=AM^2-HM^2\)

M trung điểm HC \(\Rightarrow HM=MC\Rightarrow AH^2=AM^2-MC^2\)(1)

Định lí PYTAGO cho 2 tam giác AMI và CMI đều vuông tại I: \(\hept{\begin{cases}AM^2=AI^2+MI^2\\MC^2=MI^2+IC^2\end{cases}}\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow AH^2=\left(AI^2+MI^2\right)-\left(MI^2+IC^2\right)=AI^2-IC^2\)

ABCEHD

+) Kẻ AE là phân giác ngoài của góc BAC

Mà AD là phân giác của góc BAC nên AD vuông góc với AE => tam giác EAD vuông tại A

+) Áp dụng ĐL Pi - ta go trong tam giác vuông AHD có: DH = √AD2−AH2=√452−362=27 cm

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EAD có: AD2 = DH. DE => DE = AD2 / DH = 452/ 27 = 75 cm

+)Áp dụng tính chất tia phân giác trong và ngoài tam giác có: BDDC =ABAC =EBEC

Đặt BD = x (0 < x < 40) => CD = 40 - x. Ta có:

x40−x =75−x75+(40−x) (do EB = DE - BD; EC = DE + DC)

=> x. (115 - x) = (40 - x).(75 - x)

<=> 115x - x2 = 3000 - 115x + x2 <=> x2 - 115x + 1500 = 0

=> x = 100 (Loại) hoặc x = 15 (thoả mãn)

Vậy BD = 15 cm hoặc BD = 40 - 15 = 25 cm (Nếu ta đổi vị trí B và C cho nhau)

Mình chỉ thấy duy nhất cái đẳng thức.

Mình giúp phần a thôi, phần b chir là áp dụng không có gì khó cả.

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(a+b+c=0\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\left(đpcm\right)\)

b, \(A=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{399^2}+\frac{1}{400^2}}\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-2\right)^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(-3\right)^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{399^2}+\frac{1}{\left(-400\right)^2}}\)

có 1 + 1 - 2 = 1 + 2 - 3 = ... + 1 + 399 - 400 = 0

nên theo câu a ta có : 

\(A=\left|1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right|+\left|1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right|+...+\left|1+\frac{1}{399}-\frac{1}{400}\right|\)

A = 1 + 1 -1/2 + 1 + 1/2 - 1/3 + 1 + 1/3 - 1/4 + ... + 1 + 1/399 - 1/400

= 400  1/400

= 159999/400

Đặt \(\sqrt[3]{a}=b \Rightarrow \sqrt[3]{a^2}=b^2\)

\(D=\frac{1-b}{1+b+b^2}-\frac{1+b}{1-b+b^2}=\frac{\left(1-b\right)^2}{\left(1-b\right)^3}-\frac{\left(1+b\right)^2}{\left(1+b\right)^3}\)

     \(=\frac{1}{1-b}-\frac{1}{1+b}=\frac{2b}{1-b^2}=\frac{2.\sqrt[3]{a}}{1-\sqrt[3]{a^2}}\)

Đặt \(a=\sqrt[4]{5}\Leftrightarrow5=a^4\)

Ta cần chứng minh: \(\left(\frac{a+1}{a-1}\right)^4=\frac{3+2a}{3-2a}\)

Khai triển: \(VT=\left(\frac{a+1}{a-1}\right)^4=\frac{\left(a+1\right)^4}{\left(a-1\right)^4}\)

                                         \(=\frac{2\left(3+2a\right).\left(1+a^2\right)}{2\left(3-2a\right).\left(1+a^2\right)}\)

                                         \(\frac{3+2a}{3-2a}=VP\)(đpcm)