Khi n=1, ta được \(\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{2.1+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}\)   : đúng

giả sử mệnh đề đúng khi n=k\(\left(k\ge1\right)\), tức là \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n=k+1, tức là ta phải chứng minh BĐT sau:

\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\cdot\left(k-1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2k+1\right)}.\frac{\left(2k+1\right)^2}{4\left(k+1\right)^2}< \frac{1}{\left(2k+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2\left(2k+3\right)< 4\left(k+1\right)^2\left(2k+1\right)\Leftrightarrow0< 2k+1\): luôn đúng

=>mệnh đề đúng với n=k+1

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với mọi n nguyên dương.

bạn ơi sao thay n=1 lại ra  VT=1/2 ??
 

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x>0\\c+a=y>0\\a+b=z>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z-x}{2}\\b=\frac{z+x-y}{2}\\x=\frac{x+y-z}{2}\end{cases}}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\frac{9\left(y+z-x\right)}{2x}+\frac{25\left(z+x-y\right)}{2y}+\frac{64\left(x+y-z\right)}{2z}>30\)

Ta có: \(VP=\frac{9y}{2x}+\frac{9z}{2x}-\frac{9}{2}+\frac{25z}{2y}+\frac{25x}{2y}-\frac{9}{2}+\frac{32x}{z}+\frac{32y}{z}-32\)

\(=\left(\frac{9y}{2x}+\frac{25x}{2y}\right)+\left(\frac{9z}{2x}+\frac{32x}{z}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{32y}{z}\right)-41\)

\(\ge2\cdot\frac{15}{2}+2\cdot12+2\cdot20-41=38>30\)

\(\Rightarrow\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\)

Một liên đội có khoảng 200 đến 300 đội viên.Mỗi lần xếp hàng 3,hàng 5 ,hàng 7 thì vừa đủ. Tính số đội viên

Vẽ phân giác BD, ta có: \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{DA+DC}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}\left(1\right)\)

Mặt khác \(\Delta ABD\)vuông tại A, ta có:

\(\tan\widehat{ABD}=\tan\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{DA}{AB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) =>đpcm

a) E nằm trên đường tròn đường kính CD

=> Tam giác CDE vuông tại E

=> DE // AB

Gọi M là trung điểm của AE

HM là đường trung bình của hình thang ABDE

=> HM // AB => \(HM\perp AB\)

=> Tam giác AHE cân tại H => \(\widehat{AEH}=\widehat{EAH}\)

Tam giác COE cân tại O => \(\widehat{OEC}=\widehat{OCE}\)

=> \(\widehat{OEC}+\widehat{AEH}=\widehat{OCE}+\widehat{EAH}=90^o\)

=> \(HE\perp OE\)=> Đpcm 

b) Tam giác ABC vuông tại A 

=> \(BC^2=AB^2+AC^2=289\)

=> BC = 17 

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

=> AB . AC = AH . BC 

=> \(HE=AH=\frac{120}{17}\)

a/

Ta có sđ ^NOB = sđ cung NB (góc ở tâm)

sđ cung NB = 1/2 sđ cung BC

=> sđ ^NOB = 1/2 sđ cung BC (1)

Ta có  sđ ^BAD = 1/2 sđ cung BC (góc nội tiếp đường tròn) (2)

Từ (1) và (2) => ^BAD = ^NOB => ON//AD (3) (hai đt bị cắt bởi 1 cát tuyến có 2 góc so le trong bằng nhau thì chúng // với nhau)

Mà ND vuông góc AD (đề bài) (4)

Từ (3) và (4) => ND vuông góc ON 

=> ND là tiếp tuyến của (O) tại N (đường thẳng đi qua 1 điểm trên đường tròn mà vuông góc với bán kính tại điểm đi qua thì dt đó là tt)

b/

Ta có sđ cung NC = 1/2 sđ cung BC

sđ cung CM = 1/2 sđ cung AC

=> sđ cung NC + sđ cung CM = sđ cung MN = 1/2 (sđ cung BC +  sđ cung AC) = (1/2).180 = 90

c/

Xét tg OMN có OM và ON không đổi = BK đường tròn => tg OMN cân tại O

sđ cung MN không đổi = 90 => MN không đổi

Từ O hạ đường thẳng vuông góc với MN tại K => OK là đường cao đồng thời là đường trung trực của tg OMN => K là trung điểm của MN và OK không đổi => Khi C thay đổi K luôn chạy trên đường tròn tâm O bán kính OK

Mà MN vuông góc với OK tại K => MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OK 

O cố định nên đường tròn tâm O bán kính OK cố định

=> MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính OK cố định

Nguyễn Ngọc Anh Minh

câu c bạn phải tính ra OK rùi mới nói nó không đổi nha