\(A=\frac{y+y^2+x+x^2}{1+x+y+xy}=\frac{1+\left(x^2+y^2\right)}{2+xy}\ge\frac{1+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{2+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1+\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2

a,b) Đk để biểu thức A xác định là x > 4

\(A=\frac{x\left(\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}\right)}{\sqrt{\left(x-4\right)^2}}\)

\(A=\frac{x\left(|\sqrt{x-4}+2|+|\sqrt{x-4}-2|\right)}{|x-4|}\)

\(A=\frac{x\left(\sqrt{x-4}+2+|\sqrt{x-4}-2|\right)}{x-4}\)

+) Nếu 4 < x < 8 thì \(\sqrt{x-4}-2< 0\)nên \(A=\frac{x\left(\sqrt{x-4}+2+2-\sqrt{x-4}\right)}{x-4}=\frac{4x}{x-4}=4+\frac{16}{x-4}\)

Do 4 < x < 8 nên 0 < x - 4 < 4 => A > 88

+) Nếu \(x\ge8\)thì \(\sqrt{x-4}-2\ge0\)nên :

\(A=\frac{x\left(\sqrt{x-4}+2+\sqrt{x-4}-2\right)}{x-4}=\frac{2x\sqrt{x-4}}{x-4}=\frac{2x}{\sqrt{x-4}}=2\sqrt{x-4}+\frac{8}{\sqrt{x-4}}\ge2\sqrt{16}=8\)

( Theo bđt Cô si )

- Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(2\sqrt{x-4}=\frac{8}{\sqrt{x-4}}\Leftrightarrow x-4=4\Leftrightarrow x=8\)

Vậy Min của A = 8 khi  x = 8

c) Xét 4 < x < 8 thì \(A=4+\frac{16}{x-4}\), ta thấy \(A\in Z\)khi và chỉ khi \(\frac{16}{x-4}\in Z\Leftrightarrow x-4\)là ước nguyên dương của 16

- Hay \(x-4\in\left\{1;2;4;16\right\}\Leftrightarrow x=\left\{5;6;8;12;20\right\}\)đối chiếu điều kiện => x = 5 hoặc x = 6

+) Xét \(x\ge8\)ta có : \(A=\frac{2x}{\sqrt{x-4}}\)

Đặt \(\sqrt{x-4}=m\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=m^2+4\\m\ge2\end{cases}}\)khi đó ta có : \(A=\frac{2\left(m^2+4\right)}{m}=2m+\frac{8}{m}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{2;4;8\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{8;20;68\right\}\)

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì \(x\in\left\{5;6;8;20;68\right\}\)

\(\cos^2x-2\sin^2x=0,25\)

\(\Leftrightarrow\cos^2x+\sin^2x-3\sin^2x=0,25\)

\(\Leftrightarrow\cos^2x+\sin^2x-0,25=3\sin^2x\)

\(=1-0,25=3\sin^2x\)

\(\Leftrightarrow3\sin^2x=0,75\)

\(\Leftrightarrow\sin^2x=0,25\)

\(\Leftrightarrow\sin x=0,5\)

\(\Leftrightarrow x=30^o\)

Vậy \(x=30^o\)