Để hàm số \(\sqrt{-2m+10}x^2\) là hàm số bậc hai thì \(-2m+10>0\)

=>-2m>-10

=>m<5

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{-m}{1}\)

=>\(m^2\ne-1\)(luôn đúng)

=>Hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}x-my=1\\mx+y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=my+1\\m\left(my+1\right)+y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=my+1\\y\left(m^2+1\right)=-m+3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-m+3}{m^2+1}\\x=\dfrac{-m^2+3m+m^2+1}{m^2+1}=\dfrac{3m+1}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(x^2+y^2-x-3y=0\)

=>\(\left(\dfrac{3m+1}{m^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{-m+3}{m^2+1}\right)^2-\dfrac{3m+1}{m^2+1}-\dfrac{3\left(-m+3\right)}{m^2+1}=0\)

=>\(\dfrac{9m^2+6m+1+m^2-6m+9}{\left(m^2+1\right)^2}+\dfrac{-3m-1+3m-9}{m^2+1}=0\)

=>\(\dfrac{10m^2+10}{\left(m^2+1\right)^2}+\dfrac{-10}{m^2+1}=0\)

=>\(\dfrac{10}{m^2+1}-\dfrac{10}{m^2+1}=0\)

=>0m=0(luôn đúng)

=>ĐPCM

Lời giải:
Đặt $x^2=t$ thì PT (1) trở thành:
$mt^2+2(m-2)t+m=0(*)$

Nếu $m=0$ thì PT(*) tương đương: $-4t=0\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x=0$ (loại)

$\Rightarrow m\neq 0$

$\Rightarrow$ PT (*) là PT bậc 2.

a.

Để PT(1) có 4 nghiệm phân biệt thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm dương.

Điều này xảy ra khi mà:
\(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta'(*)=(m-2)^2-m^2>0\\ S=\frac{2(2-m)}{m}>0\\ P=\frac{m}{m}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ 2m-2<0\\ \frac{2(2-m)}{m}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m< 1\\ 0< m< 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0< m< 1\)

b. 

Để PT(1) có 4 nghiệm phân biệt thì PT $(*)$ có duy nhất 1 nghiệm dương. Điều này xảy ra khi mà:
TH1: PT(*) có 1 nghiệm kép dương.

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\\ m\neq 0\\ \Delta'(*)=(m-2)^2-m^2=0\\ S=\frac{2(2-m)}{m}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\\ m\neq 0\\ m=1\\ 0< m< 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=1\)

TH2: PT (*) có 1 nghiệm âm 1 nghiệm dương

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\\ m\neq 0\\ \Delta'(*)=(m-2)^2-m^2>0\\ P=\frac{m}{m}=1<0\end{matrix}\right. (\text{vô lý - loại})\)

Vậy $m=1$

a: \(x^4-5x^2+4=0\)

=>\(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)=0\)

=>(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+1=0\\x-2=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\\x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

b: \(5x^4-22x^2+17=0\)

=>\(5x^4-5x^2-17x^2+17=0\)

=>\(\left(x^2-1\right)\left(5x^2-17\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=\dfrac{17}{15}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{1;-1;\sqrt{\dfrac{17}{15}};-\sqrt{\dfrac{17}{15}}\right\}\)

c: \(0,3x^4+1,8x^2+1,5=0\)

=>\(x^4+6x^2+5=0\)

mà \(x^4+6x^2+5=x^2\left(x^2+6\right)+5>=0+5=5>0\forall x\)

nên phương trình vô nghiệm

d: 

ĐKXĐ: x<>0

\(\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)^2-4\cdot\dfrac{x^2-1}{x}=12\)

=>\(\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)^2-4\cdot\dfrac{x^2-1}{x}-12=0\)

=>\(\left(\dfrac{x^2-1}{x}-6\right)\left(\dfrac{x^2-1}{x}+2\right)=0\)

=>\(\dfrac{x^2-6x-1}{x}\cdot\dfrac{x^2+2x-1}{x}=0\)

=>\(\left(x^2-6x-1\right)\left(x^2+2x-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2-6x-1=0\\x^2+2x-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2-6x+9=10\\x^2+2x+1=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2=10\\\left(x+1\right)^2=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3\in\left\{\sqrt{10};-\sqrt{10}\right\}\\x+1\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\left\{\sqrt{10}+3;-\sqrt{10}+3;\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}-1\right\}\)

\(l=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

\(S_{xq}=\Omega\cdot R\cdot l=\Omega\cdot5\cdot3=15\Omega\left(cm^2\right)\)

=>Chọn B

Bài 8:

a: \(P=\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}:\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}:\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1+1-\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

b: \(x=\sqrt{2022+4\sqrt{2018}}-\sqrt{2022-4\sqrt{2018}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2018}+2\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{2018}-2\right)^2}\)

\(=\sqrt{2018}+2-\sqrt{2018}+2=4\)

Thay x=4 vào P, ta được:

\(P=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Bài 10:

a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+4}:\left(\dfrac{x}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{x}{\sqrt{x}+2}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}:\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{x}{\sqrt{x}+2}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

b: \(A>=\dfrac{1}{3\sqrt{x}}\)

=>\(\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}>=\dfrac{1}{3\sqrt{x}}\)

=>\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}>=\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{3}>=0\)

=>\(\dfrac{3-\sqrt{x}-2}{3\left(\sqrt{x}+2\right)}>=0\)
=>\(-\sqrt{x}+1>=0\)

=>\(-\sqrt{x}>=-1\)

=>\(\sqrt{x}< =1\)

=>0<=x<=1

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: 0<x<=1

\(S=\Omega\cdot R\cdot l=4\cdot5\cdot\Omega=20\Omega\left(cm^2\right)\)

=>Chọn A

(d) và (O;R) không giao nhau nên \(d\left(O;d\right)>R\)

=>5>R

=>R<5

=>Chọn A

Xét ΔABC có \(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

nên \(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BAC}=120^0\)

\(S_{q\left(BC\right)}=\dfrac{\Omega\cdot4^2\cdot120}{360}=\dfrac{\Omega\cdot16}{3}\)

=>Chọn B

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{18^2+24^2}=30\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>\(R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{30}{2}=15\left(cm\right)\)

=>Chọn C