a) ĐK : \(x\ge1\)

pt <=> \(\sqrt{3^2\left(x-1\right)}-\frac{1}{2}\sqrt{2^2\left(x-1\right)}=2\)

<=> \(\left|3\right|\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\left|2\right|\sqrt{x-1}=2\)

<=> \(3\sqrt{x-1}-1\sqrt{x-1}=2\)

<=> \(2\sqrt{x-1}=2\)

<=> \(\sqrt{x-1}=1\)

<=> \(x-1=1\)=> \(x=2\)( tm )

b) \(3x-\sqrt{49-14x+x^2}=15\)

<=> \(\sqrt{x^2-14x+49}=3x-15\)

<=> \(\sqrt{\left(x-7\right)^2}=3x-15\)

<=> \(\left|x-7\right|=3x-15\)(1)

Với x < 7

(1) <=> 7 - x = 3x - 15

     <=> -x - 3x = -15 - 7

     <=> -4x = -22

     <=> x = 11/2 ( tm )

Với x ≥ 7

(1) <=> x - 7 = 3x - 15

      <=> x - 3x = -15 + 7

      <=> -2x = -8

      <=> x = 4 ( ktm )

Vậy x = 11/2

a) \(ĐKXĐ:x\ge1\)

\(\sqrt{9x-9}-\frac{1}{2}\sqrt{4x-4}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{9.\left(x-1\right)}-\frac{1}{2}.\sqrt{4\left(x-1\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}.2\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow x-1=1\)\(\Leftrightarrow x=2\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=2\)

b) \(3x-\sqrt{49-14x+x^2}=15\)

\(\Leftrightarrow3x-\sqrt{\left(7-x\right)^2}=15\)

\(\Leftrightarrow3x-\left|7-x\right|=15\)

+) TH1: Nếu \(7-x< 0\)\(\Leftrightarrow x>7\)

thì \(3x-\left(x-7\right)=15\)

\(\Leftrightarrow3x-x+7=15\)\(\Leftrightarrow2x=8\)

\(\Leftrightarrow x=4\)( không thỏa mãn )

+) TH2: Nếu \(7-x\ge0\)\(\Leftrightarrow x\le7\)

thì \(3x-\left(7-x\right)=15\)

\(\Leftrightarrow3x-7+x=15\)

\(\Leftrightarrow4x=22\)\(\Leftrightarrow x=\frac{22}{4}\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{22}{4}\)

Áp dụng các BĐT quen thuộc ta được:

 \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(x^2+xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)

Khi đó: \(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}\ge\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=\frac{\left|x+y\right|}{2}+\frac{\left|x+y\right|}{2}=\left|x+y\right|\ge x+y\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\ge0\)

=> đpcm

Ta có :

\(VT=\left(2+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\left(2-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\)

\(=\left(2+\sqrt{a}\right)\left(2-\sqrt{a}\right)\)

\(=4-a=VP\)

=> đpcm

Bổ sung ĐK \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\)dùm mình nhé ;-;

a) \(\sqrt{36}.\sqrt{121}+\sqrt[3]{-64}-\sqrt[3]{125}\)

\(=6.11+\left(-4\right)-5=66-9=57\)

b) \(\sqrt{75}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}-30\sqrt{\frac{3}{25}}\)

\(=\sqrt{25.3}+\left|\sqrt{3}-2\right|-30.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}}\)

\(=5\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-30.\frac{\sqrt{3}}{5}\)

\(=5\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-6\sqrt{3}=2-2\sqrt{3}\)

c) \(\sqrt{11-4\sqrt{7}}-\frac{12}{1+\sqrt{7}}=\sqrt{7-4\sqrt{7}+4}-\frac{12}{1+\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^2}-\frac{12}{1+\sqrt{7}}=\left|\sqrt{7}-2\right|-\frac{12}{1+\sqrt{7}}\)

\(=\left(\sqrt{7}-2\right)-\frac{12}{\sqrt{7}+1}=\frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}+1\right)}{\sqrt{7}+1}-\frac{12}{\sqrt{7}+1}\)

\(=\frac{5-\sqrt{7}}{\sqrt{7}+1}-\frac{12}{\sqrt{7}+1}=\frac{-7-\sqrt{7}}{\sqrt{7}+1}\)

\(=\frac{-\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)}{\sqrt{7}+1}=-\sqrt{7}\)

Đag lm nhà bj mất điện, đến h đc 2 tiếng r mà ch godd nào đụng à?!

Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:

\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^3}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)

\(\Leftrightarrow1\le\left(x^3+y^3\right)\sqrt{2}\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Mặt khác ta lại có: \(\left(x,y\right)\in\left[0,1\right]\Rightarrow0\le x,y\le1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x^3\\y^2\ge y^3\end{cases}}\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)

P/s: \(x^3+y^3\le1\) có thể xảy ra dấu "="

\(x^2+x-3=\left(x-1\right)\left(2y^2+y\right)\)

<=> \(2y^2+y=\frac{x^2+x-3}{x-1}=\frac{x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)-1}{x-1}=x+2-\frac{1}{x-1}\)(đk: x khác 1)

Do x;y nguyên => VT nguyên; x + 2 nguyên 

Để VP nguyên <=> \(\frac{1}{x-1}\in Z\)

<=> \(x-1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Lập bảng:

Với x = 2 => \(2y^2+y=2+2-\frac{1}{2-1}=4-1=3\)

=> \(2y^2+y-3=0\) <=> \(2y^2+3y-2y-3=0\)

<=> \(\left(2y+3\right)\left(y-1\right)=0\) <=> \(\orbr{\begin{cases}y=-\frac{3}{2}\left(ktm\right)\\y=1\end{cases}}\)

Với x = 0 (thay tt)

\(\Leftrightarrow x+y+3+2\sqrt{x+y+3}+1=x+2\sqrt{xy}+y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}-2\Leftrightarrow x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}=\frac{xy-x-y+1}{4}\)

Nếu xy không là số chính phương thì VT là số vô tỉ còn VP là số hữu tỉ (vô lý)

Vậy \(xy=k^2\Rightarrow\sqrt{xy}=k\)

Ta có : \(x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=xy-2\sqrt{2xy}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\)(*)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y}=k-1-\sqrt{x}\Leftrightarrow y=\left(k-1\right)^2-2\left(k-1\right)\sqrt{x}+x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{\left(k-1\right)^2+x-y}{2\left(k-1\right)}\)( vì .....k>2)

Nếu x không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, VP là hữu tỉ(vô lý)

Vậy x là số chính phương , tương tự y là số chính phương.

Đặt \(x=a^2;y=b^2\), từ (*) \(a+b=ab+1\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=2\)

Ta tìm được (a;b)=(2;3);(3;2)=> (x;y)=(4;9);(9;4)

a) Với m = 3 

Ta có: \(x^4-2.3.x^2+3^2-1=0\)

<=> \(\left(x^2-3\right)^2-1=0\Leftrightarrow\left(x^2-3-1\right)\left(x^2-3+1\right)=0\)

<=> \(\left(x^2-4\right)\left(x^2-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\pm2\\x=\pm\sqrt{2}\end{cases}}\)

b) \(x^4-2mx^2+\left(m^2-1\right)=0\)(1)

Đặt: \(x^2=t\ge0\)

Ta có phương trình ẩn t: \(t^2-2mt+\left(m^2-1\right)=0\)(2)

(1) có 3 nghiệm phân biệt <=> (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t >0 

Với t = 0 thay vào (2) ta có: \(m^2-1=0\Leftrightarrow m=\pm1\)

+) Nếu m = 1; ta có: \(t^2-2t=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=0\\t=3\end{cases}}\)tm 

+) Nếu m = - 1 ta có: \(t^2+2t=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=0\\t=-2\end{cases}}\)loại

Vậy m = 1