Lời giải:

Đặt n=2k+1n=2k+1

Số số hạng: n−12+1=2k+1−12+1=k+1n−12+1=2k+1−12+1=k+1

Tổng A là:

A=(k+1)(2k+1+1)2=2(k+1)22=(k+1)2A=(k+1)(2k+1+1)2=2(k+1)22=(k+1)2 là số chính phương (đpcm)

Answer:

Ta có: \(A=1+3+5+7+...+n\)

Có số số hạng: \(\frac{n-1}{2}+1=\frac{n-1+2}{2}=\frac{n+1}{2}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(n+1\right).\frac{n+1}{2}}{2}=\frac{\left(n+1\right).\left(n+1\right)}{2}:2=\frac{\left(n+1\right)^2}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\left(n+1\right)^2}{2^2}=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2\)

Vậy A là số chính phương

Gọi số đo các góc A, B, C lần lượt là \(a,b,c\left(^o\right)\)\(a,b,c>0\).

Vì tổng số đo các góc trong tam giác là \(180^o\)nên \(a+b+c=180\)

Vì số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với \(4,5,6\)nên \(\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}=\frac{a+b+c}{4+5+6}=\frac{180}{15}=12\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=12.4=48\\b=12.5=60\\c=12.6=72\end{cases}}\)

Gọi độ dài ba cạnh tam giác lần lượt là \(a,b,c\left(cm\right);a,b,c>0\).

Vì độ dài ba cạnh lần lượt tỉ lệ thuận với \(3,5,7\)nên \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}\).

a) Vì chu vi tam giác là \(45cm\)nên \(a+b+c=45\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}=\frac{a+b+c}{3+5+7}=\frac{45}{15}=3\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3.3=9\\b=3.5=15\\c=3.7=21\end{cases}}\)

b) Vì tổng độ dài cạnh lớp nhất và cạnh nhỏ nhất là \(30cm\)nên \(a+c=30\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}=\frac{a+c}{3+7}=\frac{30}{10}=3\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3.3=9\\b=3.5=15\\c=3.7=21\end{cases}}\)

Gọi số cây xanh mỗi lớp 7A, 7B, 7C phải trồng lần lượt là \(a,b,c\)(cây) \(a,b,c\inℕ^∗\).

Vì tổng số cây xanh phải trồng là \(180\)cây nên \(a+b+c=50\).

Vì số cây xanh tỉ lệ thuận với \(3,4,5\)nên \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{3+4+5}=\frac{180}{12}=15\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=15.3=45\\b=15.4=60\\c=15.5=75\end{cases}}\)

Gọi số cây xanh mỗi lớp 7A, 7B, 7C phải trồng và chăm sóc lần lượt là \(a,b,c\)(cây) \(a,b,c\inℕ^∗\).

Vì tổng số cây xanh phải trồng và chăm sóc là \(50\)cây nên \(a+b+c=50\).

Vì số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh nên \(\frac{a}{45}=\frac{b}{54}=\frac{c}{51}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{45}=\frac{b}{54}=\frac{c}{51}=\frac{a+b+c}{45+54+51}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{3}.45=15\\b=\frac{1}{3}.54=18\\c=\frac{1}{3}.51=17\end{cases}}\)