\(\left|5x-2\right|=7x+3\) (1)

- Nếu \(5x-2\ge0\Leftrightarrow x\ge\frac{2}{5}\)

(1) tương đương với: 

\(5x-2=7x+3\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\left(l\right)\)

- Nếu \(5x-2< 0\Leftrightarrow x< \frac{2}{5}\)

(1) tương đương với: 

\(2-5x=7x+3\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{12}\left(tm\right)\)

\(\left|5x-2\right|=7x+3\)

ĐK : \(7x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge-\frac{3}{7}\)

TH1 : \(5x-2=7x+3\Leftrightarrow2x=-5\Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\)( ktm )

TH2 : \(-5x+2=7x+3\Leftrightarrow12x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{12}\)( tm )

\(2x\left(x-3\right)-2x+6=0\)

\(2x^2-6x-2x+6=0\)

\(2x^2-8x+6=0\)

\(2x^2-2x-6x+6=0\)

\(2x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left(2x-6\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\2x-6=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=1\\2x=6\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}}}\)

2x(x - 3) - 2x + 6 = 0 

<=> 2x(x - 3) - 2(x - 3) = 0

<=> (2x - 2)(x - 3) = 0

<=> 2(x - 1)(x - 3) = 0

<=> (x - 1)(x - 3) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{1;3\right\}\)là nghiệm phương trình 

a) \(\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=2\left(x^2+y^2\right)\)

b) \(\left(2x+3\right)^2-\left(x+1\right)^2=4x^2+12x+9-\left(x^2+2x+1\right)=3x^2+10x+8\)

Vì \(12n^2+1\)là số lẻ với mọi \(n\)nên để \(\sqrt{12n^2+1}\)là số nguyên thì :

  \(12n^2+1=\left(2m+1\right)^2,m\in N\)

\(\Leftrightarrow12n^2+1=4m^2+4m+1\)

\(\Leftrightarrow m\left(m+1\right)=3n^2\)

Vì \(\left(m,m+1\right)=1\)nên xảy ra hai trường hợp : 

\(\orbr{\begin{cases}m=3u^2,m+1=v^2\\m=v^2,m+1=3u^2\end{cases}u,v\inℕ^∗}\)

+) Nếu : \(\hept{\begin{cases}m=v^2\\m+1=3u^2\end{cases}}\)thì \(v^2=3u^2-1\)hay \(v^2\)là số hính phương chia 3 dư 2

Điều này không xảy ra vì mọi số chính phương chia 3 dư là 0 hoặc 1.

⇒ Do đó chỉ xảy ra : \(\hept{\begin{cases}m=3u^2\\m+1=v^2\end{cases}}\)

Ta có : \(2\sqrt{12n^2+1}+2=2\left(2m+1\right)=4v^2=\left(2v\right)^2\)là số chính phương 

                     Ps : Nhớ k cho tui nha, để có j lần sau tui giải hộ cho :33

                                                                                                                                                         # Aeri # 

Câu 2: 

\(\left|x+\frac{1}{101}\right|+\left|x+\frac{2}{101}\right|+...+\left|x+\frac{100}{101}\right|=101x\)

Có \(VT\ge0\Rightarrow VP\ge0\Rightarrow x\ge0\)

do đó phương trình ban đầu tương đương với: 

\(x+\frac{1}{101}+x+\frac{2}{101}+...+x+\frac{100}{101}=101x\)

\(\Leftrightarrow100x+\left(\frac{1}{101}+\frac{2}{101}+...+\frac{100}{101}\right)=101x\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{100.101}{2.101}=50\)

\(\left(2-n\right)\left(n^2-3n+1\right)+n\left(n^2+12\right)+8\)

\(=2n^2-6n+2-n^3+3n^2-n+n^3+12n+8\)

\(=5\left(n^2+n+2\right)⋮5\)