Có: \(5a^2+10ab+10b^2=\left(2a+3b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge\left(2a+3b\right)^2\), dấu "=" xảy ra khi a = b

=> \(\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}\ge2a+3b\)

hay \(\dfrac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}\le\dfrac{ab}{2a+3b}\)

Chứng minh: \(\dfrac{ab}{2a+3b}\le\dfrac{3a+2b}{25}\)

Thật vậy: \(25ab\le\left(2a+3b\right)\left(3a+2b\right)\Leftrightarrow6\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng), dấu "=" xảy ra khi a = b.

Do đó: \(\dfrac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}\le\dfrac{3a+2b}{25}\)

Tương tự ta có:

\(\)\(\dfrac{bc}{\sqrt{5b^2+10bc+10c^2}}\le\dfrac{3b+2c}{25}\)

\(\dfrac{ca}{\sqrt{5c^2+10ca+10a^2}}\le\dfrac{3c+2a}{25}\)

Cộng các bđt trên, được:

\(M\le\dfrac{3a+2b}{25}+\dfrac{3b+2c}{25}+\dfrac{3c+2a}{25}=\dfrac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)

Có: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le a^2+b^2+c^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\)

\(=3a^2+3b^2+3c^2=9\)

=> \(a+b+c\le3\)

=> \(M\le\dfrac{3}{5}\)

max M \(=\dfrac{3}{5}\) khi a = b = c = 1.

\(\dfrac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}=\dfrac{ab}{\sqrt{5\left[b^2+\left(a+b\right)^2\right]}}=\dfrac{ab}{\sqrt{\left[b^2+\left(a+b\right)^2\right]\left(1^2+2^2\right)}}\le^{Bunhiacopxki}\dfrac{ab}{b.1+\left(a+b\right).2}=\dfrac{ab}{2a+3b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}\le\dfrac{ab}{2a+3b}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopki dạng phân thức:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{5^2}{2a+3b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{25}{2a+3b}\le\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\Rightarrow\dfrac{ab}{2a+3b}\le\dfrac{2b+3a}{25}\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}\le\dfrac{2b+3a}{25}\left(3\right)\)

Tương tự: 

\(\dfrac{bc}{\sqrt{5b^2+10bc+10c^2}}\le\dfrac{2c+3b}{25}\left(4\right)\)

\(\dfrac{ca}{\sqrt{5c^2+10ca+10a^2}}\le\dfrac{2a+3c}{25}\left(5\right)\)

\(\left(3\right)+\left(4\right)+\left(5\right)\Rightarrow M\le\dfrac{a+b+c}{5}\)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3.3=9\)

\(\Rightarrow a+b+c\le3\)

\(\Rightarrow M\le\dfrac{a+b+c}{5}\le\dfrac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Vậy \(MaxM=\dfrac{3}{5}\)

Đây là box Toán nhé bạn, phiền bạn chuyển bài này sang box Văn nhé.

x1+x2=3; x1x2=2

\(M=\dfrac{x_1\cdot x_2^2+3x_1^2+x_2\cdot x_1^2+3x_2^2}{\left(x_1^2+3x_2\right)\left(x_2^2+3x_1\right)}\)

\(=\dfrac{x_1\cdot x_2\left(x_1+x_2\right)+3\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]}{\left(x_1\cdot x_2\right)^2+3\cdot x_1^3+3\cdot x_2^3+9\cdot x_1x_2}\)

\(=\dfrac{2\cdot3+3\cdot\left[3^2-2\cdot2\right]}{2^2+3\cdot\left[\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\right]+9\cdot2}\)

\(=\dfrac{6+3\cdot\left[9-4\right]}{4+18+3\cdot\left[27-3\cdot2\cdot3\right]}\)

\(=\dfrac{3}{7}\)

2:

a: khi m=1 thì (1) sẽ là x^2-5=0

=>\(x=\pm\sqrt{5}\)

b: Δ=(2m-2)^2-4(2m-7)

=4m^2-8m+4-8m+28

=4m^2-16m+32

=4(m^2-4m+8)

=4(m^2-4m+4+4)

=4(m-2)^2+16>0 với mọi m

=>(1) luôn có hai nghiệm phân biệt

A=(x1+x2)^2-2x1x2

=(2m-2)^2-2(2m-7)

=4m^2-8m+4-4m+14

=4m^2-12m+18

=4(m^2-3m+9/2)

=4(m^2-2*m*3/2+9/4+9/4)

=4(m-3/4)^2+9>=9

Dấu = xảy ra khi m=3/4

Δ=(-m)^2-4(2m-5)

=m^2-8m+20

=(m-4)^2+4>=4>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

x1+x2=3x1x2

=>m=3(2m-5)

=>6m-15-m=0

=>5m-15=0

=>m=3

(c)//y=x+2 nên (c): y=x+b

Thay x=-1 và y=4 vào (c), ta được:

b-1=4

=>b=5

ΔOAM cân tại O

mà OI là trung tuyến

nen OI vuông góc AM

góc MIO+góc MHO=180 độ

=>MIOH nội tiếp

d: A nguyên thì \(-5\sqrt{x}+2⋮\sqrt{x}+3\)

=>\(-5\sqrt{x}-15+17⋮\sqrt{x}+3\)

=>căn x+3=17

=>x=196

x1+x2=2 

mà 1-2=-1 

nên không có m,n thỏa mãn