\(y'=x^2-2\left(m-1\right)x+2\left(m-1\right)\)

Hàm đồng biến trên R khi:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2\left(m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-3\right)\le0\)

\(\Rightarrow3\le m\le1\)

18D

19D

20C

21C

22 Từ đồ thị \(f'\left(x\right)\) ta thấy \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm và \(f'\left(x\right)\) đổi dấu khi đi qua những điểm này

\(\Rightarrow\) Hàm có 3 cực trị

23 Từ đồ thị ta thấy dấu của \(f'\left(x\right)\) như sau:

\(\Rightarrow\) Hàm có 1 điểm cực tiểu \(x=3\)

24. Từ đồ thị ta thấy hàm có 3 cực trị, trong đó có 1 cực đại và 2 cực tiểu

25. A đúng, do \(y=x+\dfrac{1}{x+1}\Rightarrow y'=1-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\) nên hàm có 2 cực trị

26. D đúng, hàm bậc nhất trên bậc nhất (dạng \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) luôn luôn không có cực trị)

27. A là khẳng định sai, hàm bậc 3 có thể có 2 cực trị hoặc ko có cực trị nào

28. 

\(y'=-3x^2+3=0\Rightarrow x=\pm1\)

\(y''=-6x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y''\left(1\right)=-6< 0\\y''\left(-1\right)=6>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=1\) là điểm cực đại và \(x=-1\) là điểm cực tiểu

29.

D đúng, ta có \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1=0\) tại \(x=1\) và \(y''=-\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}}< 0\) tại \(x=1\)

ĐKXĐ: \(x>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x< 0\\log_3x-y>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< x< 2\\log_3x>y\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< x< 2\\x>3^y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại y nguyên dương thỏa mãn (do \(3^y\ge3>2\))

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x>0\\log_3x-y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x< 3^y\end{matrix}\right.\)

Do tồn tại nhiều nhất 10 số nguyên x thỏa mãn \(\Rightarrow3\le x\le12\)

\(\Rightarrow3< 3^y\le13\Rightarrow1< y\le log_313\)

\(\Rightarrow y=2\) có 1 số nguyên dương thỏa mãn

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-4< 0\\3^x-y>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 2\\x>log_3y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow log_3y< x< 2\)

Do số nghiệm nguyên ko quá 7 \(\Rightarrow-5\le x\le1\)

\(\)\(\Rightarrow-6\le log_3y< 1\)

\(\Rightarrow y=\left\{1;2\right\}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-4>0\\3^x-y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x< log_3y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2< x< log_3y\)

Tương tự như trên ta có \(3\le x\le9\)

\(\Rightarrow3< log_3y\le10\)

\(\Rightarrow3^3< y\le3^{10}\) có \(3^{10}-3^3\) số

Tổng cộng: \(3^{10}-3^3+2=C\)

a.

\(y'=3x^2-3\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Dấu của y':

Từ đó ta kết luận:

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(-1;1\right)\)

b.

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{-1\right\}\)

\(y'=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}>0;\forall x\in D\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\)

c.

\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Dấu của y':

Từ đó ta kết luận:

- Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

- Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(0;1\right)\)

Có:

`VT=\sqrt{2}(1/\sqrt{2}cos x-1/\sqrt{2}sin x)`

     `=\sqrt{2}cos(x+\pi/4)`

     `=VP`

 `=>Đpcm`

\(y'=3x^2\left(1-x\right)^2-2x^3\left(1-x\right)=5x^4-8x^3+3x^2\)