Cho hình thoi ABCD đường cao AH. Cm \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TN
0
GF
0
4 tháng 11 2020
Ta có : \(a^{^3}+2b^{^3}=a^{^3}+b^{^3}+b^{^3}\ge3ab^{^2}\) > 0
Thấy : \(\frac{a^{^4}}{a^{^3}+2b^{^3}}=a-\frac{2ab^{^3}}{a^{^3}+2b^{^3}}\ge a-\frac{2ab^{^3}}{3ab^{^2}}=a-\frac{2}{3}b\)
Làm tương tự rồi cộng vế với vế , ra đpcm
Ta có
\(\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{AC^2+BD^2}{\left(AC.BD\right)^2}\)
\(S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}\Rightarrow2.S_{ABCD}=AC.BD\Rightarrow4.S^2_{ABCD}=\left(AC.BD\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{AC^2+BD^2}{4.S^2_{ABCD}}\) (*)
Mà
\(S_{ABCD}=\frac{\left(AB+CD\right).AH}{2}=\frac{2.AB.AH}{2}=AB.AH\) (AB=CD theo t/c hình thoi)
\(\Rightarrow S^2_{ABCD}=AB^2.AH^2\)(1)
Xét tg vuông AOB ta có
\(AB^2=AO^2+BO^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2=\frac{AC^2+BD^2}{4}\) Thay vào (1)
\(\Rightarrow S^2_{ABCD}=\frac{\left(AC^2+BD^2\right).AH^2}{4}\Rightarrow4.S^2_{ABCD}=\left(AC^2+BD^2\right).AH^2\) Thay vào (*)
\(\Rightarrow\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{AC^2+BD^2}{\left(AC^2+BD^2\right).AH^2}=\frac{1}{AH^2}\left(dpcm\right)\)