\(\sqrt{2x+1}^2=3\Leftrightarrow2x+1=3\)

\(\Leftrightarrow2x=2\Leftrightarrow x=1\)

Cho x=0 => y= 2.0-6=-6=> A(0;-6)

Cho y=0=> 0=2x-6=> x=3 => B(3;0)

ta có d" cắt trục hoành tại điểm \(y=0\Rightarrow x=5\)

Gọi điểm A(5,0) vậy d cắt d" tại A

hay A thuộc d , thay tọa độ của A vào d ta có

\(\left(2m+1\right).5+3m-2=0\Leftrightarrow10m+5+3m-2=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{13}\)

Để căn thức xác định thì x² + x + 1 ≥ 0

mà ta có x² + x + 1 = ( x² + x + 1/4 ) + 3/4 = ( x + 1/2 )² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x

=> Căn thức xác định với mọi số thực x

Ta có: \(B=\Sigma\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}=\Sigma\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}}\le\Sigma\frac{2}{a+b}=\frac{1}{2}​\Sigma\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

\(\hept{\begin{cases}y+xy^2=-6x^2\\1+x^3y^3=19x^3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{19}{6}xy+\frac{19}{6}x^2y^2=-19x^3\left(1\right)\\1+x^3y^3=19x^3\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2), ta được: \(\left(xy\right)^3+\frac{19}{6}\left(xy\right)^2+\frac{19}{6}\left(xy\right)+1=0\)

Đặt \(xy=t\)thì ta có phương trình \(t^3+\frac{19}{6}t^2+\frac{19}{6}t+1=0\Leftrightarrow\left(t+\frac{3}{2}\right)\left(t+1\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)=0\)

TH1: \(t=-\frac{3}{2}\)hay \(xy=-\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{-3}{2y}\)

Thay vào phương trình (1), ta được: \(y+\frac{-3}{2y}.y^2=-6.\left(\frac{-3}{2y}\right)^2\Leftrightarrow-\frac{1}{2}y=\frac{-27}{2y^2}\Leftrightarrow y=3\)suy ra x = \(\frac{-1}{2}\)

TH2: \(t=-1\)hay \(xy=-1\Rightarrow x=-\frac{1}{y}\)

Thay vào phương trình (1), ta được: \(y-\frac{1}{y}.y^2=-6.\left(\frac{-1}{y}\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{y^2}=0\)(vô nghiệm)

TH3: \(t=-\frac{2}{3}\)hay \(xy=-\frac{2}{3}\Rightarrow x=-\frac{2}{3y}\)

Thay vào phương trình (1), ta được: \(y+\frac{-2}{3y}.y^2=-6.\left(\frac{-2}{3y}\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{3}y=\frac{-8}{3y^2}\Leftrightarrow y=-2\)suy ra x = \(\frac{1}{3}\)

Vậy hệ có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(\frac{-1}{2};3\right);\left(\frac{1}{3};-2\right)\right\}\)

Đặt \(t=x\sqrt{2x^2+4}\Rightarrow t^2=2\left(x^4+2x^2\right)\Rightarrow x^2\left(x^2+2\right)=\frac{t^2}{2}\)

ta được phương trình \(\frac{t^2}{2}=4-t\Rightarrow t^2+2t-8=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t=-4\\t=2\end{cases}}\)

Với \(t=-4\Rightarrow x\sqrt{2x^2+4}=-4\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\2\left(x^4+2x^2\right)=16\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\x^4+2x^2-8=0\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\x^2=2\end{cases}\Rightarrow x=-\sqrt{2}}\)

Với \(t=2\Rightarrow x\sqrt{2x^2+4}=2\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\2\left(x^4+2x^2\right)=4\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x^4+2x^2-2=0\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x^2=\sqrt{3}-1\end{cases}\Rightarrow x=\sqrt{\sqrt{3}-1}}\)