Đặt \(x=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Có: \(x=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)

      \(x=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)

Khi đó, có: \(P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=x+\frac{1}{x^2}\)

Ta chứng minh \(P=x+\frac{1}{x^2}\le\frac{28}{9}\)

BĐT \(\Leftrightarrow9x^3-28x^2+9\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(9x^2-x-3\right)\le0\)(Luôn đúng vì \(\sqrt{3}\le x\le3\))

Vậy \(maxP=\frac{28}{9}\Leftrightarrow x=3\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(0;0;3\right)\right\}\)và các hoán vị. 

Bài 1: 

Ta có: \(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{y^2}{4}}\)

Đặt \(\left(x;\frac{y}{2}\right)=\left(a;b\right)\left(a,b>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\\ab\ge1\end{cases}}\)

Ta có: \(P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\)

\(\ge\frac{1}{ab+a^2}+\frac{1}{ab+b^2}+2ab=\frac{1}{ab}+2ab\)

\(=\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+ab\ge2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(ab=\frac{1}{ab}\Rightarrow ab=1\Rightarrow xy=2\)

Bài 3: 

Đặt \(\left(a-1;b-1;c-1\right)=\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>1\right)\)

Khi đó:

\(BĐTCCM\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\ge12\)

Thật vậy vì ta có:

\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\)

\(=\frac{x^2+2x+1}{y}+\frac{y^2+2y+1}{z}+\frac{z^2+2z+1}{x}\)

\(=\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\right)+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{z}\cdot\frac{2z}{x}}+6\sqrt[6]{\frac{x^2}{y}\cdot\frac{y^2}{z}\cdot\frac{z^2}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}}=6+6=12\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

Gọi tử số là a 

=> Mẫu số là a + 1

Ta có \(\frac{a-3}{a+1+4}=\frac{3}{7}\)

=> \(\frac{a-3}{a+5}=\frac{3}{7}\)

=> 3(a + 5) = 7(a - 3)

=> 3a + 15 = 7a - 21

=> 7a - 3a = 21 + 35

=> 4a = 36

=> a = 9

=> a + 1 = 10

Vậy phân số ban đầu là \(\frac{9}{10}\)

 

Vì: FBM=FAM=45 độ nên BFMA là tứ giác nội tiếp

tương tự có đpcm

b, ta có: 

MFN=DAB=90

NEM=BCD=90

=> nội tiếp

c, theo câu b ta có: 

MNB=BEC=BNC nên: NB là phân giác góc INC

thấy ngay H là trực tâm tam giác BMN nên: BI vuông góc MN 

do đó áp dụng tính chất đường phân giác ta được BI=BC=a.

Chứng minh góc EBN = góc ECN = 450

=> Tứ giác BENC nội tiếp (đpcm)

a) Dựa vào dấu hiệu nhận biết ở bài 2, chứng minh được EH.EB = EI.EC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

b) Gọi F là giao điểm của Ek và BC.