Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 4
CMR \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Cô-si, ta được: \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=\left(a^2+\frac{b^2}{4}\right)+\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\ge\left|ab\right|+2\Rightarrow\left|ab\right|\le2\)hay \(-2\le ab\le2\)(/*)
\(\Rightarrow S=ab+2009\ge2007\)
Đẳng thức xảy ra khi a = -1; b = 2 hoặc a = 1; b = -2
* Chú ý: Với đánh giá (/*) thì ta còn tìm được GTLN của S = 2011 khi a = 1; b = 2 hoặc a = 2; b = 1 hoặc a = -1; b = -2 hoặc a = -2; b = -1
\(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^3}{2zx}\)
\(=\frac{x^3}{2xy}+\frac{y^3}{2xy}+\frac{y^3}{2yz}+\frac{z^3}{2yz}+\frac{z^3}{2zx}+\frac{x^3}{2zx}\)
\(=\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)
Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z
Sử dụng bđt phụ sau: với a, b là các số dương thì \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy ta có:
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)( bđt luôn đúng với mọi \(a,b\ge0\))
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng bđt phụ ta có: với x, y, z là các số dương thì:
\(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^3}{2zx}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{2xy}+\frac{yz\left(y+z\right)}{2yz}+\frac{zx\left(z+x\right)}{2zx}\)
\(=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)( đpcm )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Cặp số \(\left(3;y\right)\)là 1 nghiệm của phương trình \(3x-6y=9\)
\(\Rightarrow\)Thay \(x=3\)và \(y=y\)vào phương trình ta được:
\(9-6y=9\)\(\Leftrightarrow6y=0\)\(\Leftrightarrow y=0\)
Vậy \(y=0\)
cấy pt dạng ni lớp 8 học rồi mà :v
chỉ là thêm công thức nghiệm vào thôi ._.
1. ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8 ) + 16 = 0
<=> [ ( x + 2 )( x + 8 ) ][ ( x + 4 )( x + 6 ) ] + 16 = 0
<=> ( x2 + 10x + 16 )( x2 + 10x + 24 ) + 16 = 0
Đặt t = x2 + 10x + 16
pt <=> t( t + 8 ) + 16 = 0
<=> t2 + 8t + 16 = 0
<=> ( t + 4 )2 = 0
<=> ( x2 + 10x + 16 + 4 )2 = 0
<=> ( x2 + 10x + 20 )2 = 0
=> x2 + 10x + 20 = 0
Δ' = b'2 - ac = 25 - 20 = 5
Δ' > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\text{Δ}'}}{a}=-5+\sqrt{5}\)
\(x_2=\frac{-b'-\sqrt{\text{Δ}'}}{a}=-5-\sqrt{5}\)
Vậy ...
2. ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) - 24 = 0
<=> [ ( x + 1 )( x + 4 ) ][ ( x + 2 )( x + 3 ) ] - 24 = 0
<=> ( x2 + 5x + 4 )( x2 + 5x + 6 ) - 24 = 0
Đặt t = x2 + 5x + 4
pt <=> t( t + 2 ) - 24 = 0
<=> t2 + 2t - 24 = 0
<=> ( t - 4 )( t + 6 ) = 0
<=> ( x2 + 5x + 4 - 4 )( x2 + 5x + 4 + 6 ) = 0
<=> x( x + 5 )( x2 + 5x + 10 ) = 0
Vì x2 + 5x + 10 có Δ = -15 < 0 nên vô nghiệm
=> x = 0 hoặc x = -5
Vậy ...
3. ( x - 1 )( x - 3 )( x - 5 )( x - 7 ) - 20 = 0
<=> [ ( x - 1 )( x - 7 ) ][ ( x - 3 )( x - 5 ) ] - 20 = 0
<=> ( x2 - 8x + 7 )( x2 - 8x + 15 ) - 20 = 0
Đặt t = x2 - 8x + 7
pt <=> t( t + 8 ) - 20 = 0
<=> t2 + 8t - 20 = 0
<=> ( t - 2 )( t + 10 ) = 0
<=> ( x2 - 8x + 7 - 2 )( x2 - 7x + 8 + 10 ) = 0
<=> ( x2 - 8x + 5 )( x2 - 7x + 18 ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2-8x+5=0\\x^2-7x+18=0\end{cases}}\)
+) x2 - 8x + 5 = 0
Δ' = b'2 - ac = 16 - 5 = 11
Δ' > 0 nên có hai nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\text{Δ}'}}{a}=-4+\sqrt{11}\)
\(x_2=\frac{-b'+\sqrt{\text{Δ}'}}{a}=-4-\sqrt{11}\)
+) x2 - 7x + 18 = 0
Δ = b2 - 4ac = 49 - 72 = -23 < 0 => vô nghiệm
Vậy ...
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\frac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)
Lại có : \(x\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=4\)( theo AM-GM )
=> \(\frac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)
=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)