Ta có : \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+bc+bd+dc+da\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(ab+ac+bc+bd+dc+da\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\sqrt[4]{1^2}=4\)(1)

\(ab+ac+bc+bd+dc+da\ge6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\sqrt[6]{\left(abcd\right)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(ab+ac+bc+bd+dc+da\right)\ge4+6=10\)

hay \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge10\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = d = 1

  Áp dụng bất đẳng thức cosi với 4 số a,b,c,d không âm 

          \(\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

      Mà \(abcd=1\)

       \(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge1\)

        \(\Rightarrow a+b+c+d\ge4\)

  Có abcd=1

  => a² . b² . c² . d² = 1

   Áp dụng bất đẳng thức cosi với 4 số không âm a², b², c², d² có

         \(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}\)

      \(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge1\)

       \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\)  ( 1 )

Ta có

         \(a+b+c+d\ge4\)  ( 2 )

  \(\Leftrightarrow\left(a+b+c+d\right)^2\ge16\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\ge16\)

            Cộng ( 1 ) và ( 2 ) ta có

   \(2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge20\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+bc+bd+ad+cd\ge10\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge10\)  ( đpcm )