a.

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^2=mx+2\Leftrightarrow x^2-mx-2=0\) (1)

\(ac=-2;\forall m\Rightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m

Hay (d) cắt (P) tại 2 điểm pb A, B với mọi m với \(A\left(x_1;y_1\right)\) ; \(B\left(x_2;y_2\right)\)

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

b.

Do I là giao điểm của (d) với Oy \(\Rightarrow x_I=0\Rightarrow y_I=m.0+2=2\)

\(\Rightarrow I\left(0;2\right)\)

Gọi C là hình chiếu của A lên Ox \(\Rightarrow C\left(x_1;0\right)\) \(\Rightarrow OC=\left|x_1\right|\)

Gọi D là hình chiếu của B lên Ox \(\Rightarrow D\left(x_2;0\right)\) \(\Rightarrow OD=\left|x_2\right|\)

ABDC tạo thành hình thang vuông tại C và D, do \(OI||AC||BD\) (cùng vuông góc trục hoành), áp dụng định lý Thales:

\(\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow OD=3OC\)

\(\Rightarrow\left|x_2\right|=3\left|x_1\right|\) 

Mà theo câu a đã chứng minh \(x_1;x_2\) trái dấu \(\Rightarrow x_2=-3x_1\)

Thế vào \(x_1+x_2=m\Rightarrow x_1-3x_1=m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\dfrac{m}{2}\\x_2=\dfrac{3m}{2}\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=-2\Rightarrow-\dfrac{3m^2}{4}=-2\)

\(\Rightarrow m=\pm\sqrt{\dfrac{8}{3}}\)

Nửa chu vi là 52:2=26(m)

Chiều dài là (26+6):2=32:2=16(m)

Chiều rộng là 16-6=10(m)

Diện tích hình chữ nhật là 16x10=160(m²)

Diện tích hình chữ nhật sau khi tăng chiều dài thêm 4m là:

10x(16+4)=200(m²)

Tỉ số phần trăm mà diện tích hình chữ nhật đã tăng thêm là:

(200-160):160=40:160=25%

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

AB=AC

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔADB=ΔAEC

b: Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có

BC chung

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

=>\(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\)

=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

=>ΔHBC cân tại H

c: ta có: HB=HC

mà HC>HD(ΔHDC vuông tại D)

nên HB>HD

d: Gọi K là giao điểm của BN và CM

Xét ΔHNB và ΔHMC có

HN=HM

\(\widehat{NHB}=\widehat{MHC}\)(hai góc đối đỉnh)

HB=HC

Do đó; ΔHNB=ΔHMC

=>NB=MC

Xét ΔHBC và ΔHNM có

\(\dfrac{HB}{HN}=\dfrac{HC}{HM}\)

\(\widehat{BHC}=\widehat{NHM}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHBC~ΔHNM

=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HNM}\)

=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HMN}\)

=>BC//MN

Xét ΔKMN có BC//MN

nên \(\dfrac{KB}{BN}=\dfrac{KC}{CM}\)

mà BN=CM

nên KB=KC

=>K nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: HB=HC

=>H nằm trên đường trung trực của BC(2)

ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,K thẳng hàng

=>BN,CM,AH đồng quy

Qua C kẻ đường thẳng song song OM cắt BC kéo dài tại D

\(\Rightarrow d\left(OM;AC\right)=d\left(O;\left(ACD\right)\right)\)

Kẻ OE vuông góc CD, OF vuông góc AE

\(\Rightarrow OF=d\left(O;\left(ACD\right)\right)\)

\(OE=\dfrac{1}{2}BC=a\sqrt{2}\)

\(OF=\dfrac{OA.OE}{\sqrt{OA^2+OE^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Dạng nhiều góc vuông thế này lên lớp 12 có cách tọa độ hóa đưa về đại số tính đỡ tốn công kẻ thêm hình.

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{50^2}\)

\(=\dfrac{1}{2^2}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{25^2}\right)\)

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=1-\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

...

\(\dfrac{1}{25^2}< \dfrac{1}{24\cdot25}=\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{25}\)

Do đó: \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{25^2}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{25}\)

=>\(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{25^2}< 1+1-\dfrac{1}{25}< 2\)

=>\(A=\dfrac{1}{2^2}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{25^2}\right)< \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

Bài 2:

a: Xét tứ giác AEBF có \(\widehat{AEB}+\widehat{AFB}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEBF là tứ giác nội tiếp

1:

Gọi AB là khoảng cách từ đầu thang tre đến cây lau, BC là là độ dài thang tre

Theo đề, ta có: AB\(\perp\)AC tại A, AB=2,5m; BC=6m

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosB=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2.5}{6}=\dfrac{5}{12}\)

nên \(\widehat{B}\simeq65^022'\)

vậy: Góc tạo bởi thang tre với mặt đất là 65 độ 22 phút

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>0;\forall x>0\\\sqrt{x}+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P>0\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1-1}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< 1\)

\(\Rightarrow0< P< 1\)

\(\Rightarrow P\) nằm giữa 2 số nguyên liên tiếp nên P ko là số nguyên với mọi x

   Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề lập số theo điều kiện cho trước, cấu trúc thi học sinh giỏi, thi chuyên, thi violympic. Hôm nay, Olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                                        Giải:  

Chữ số hàng trăm hơn chữ số hàng đơn vị là: 4 + 4 = 8 (đơn vị)

Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn không nên chữ số hàng trăm lớn hơn:

         8 + 0 = 8

Vậy chữ số hàng trăm là 9.

Chữ số hàng chục là: 9 - 4 = 5

Chữ số hàng đơn vị là: 5 - 4 = 1 

Số có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là: 951

Đáp số: 951 

951