Gọi d=ƯCLN(2n+3;n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\2n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(2n+3-2n-4⋮d\)

=>\(-1⋮d\)

=>d=1

=>ƯCLN(2n+3;n+2)=1

=>\(\dfrac{2n+3}{n+2}\) là phân số tối giản

Nửa chu vi sân cỏ:

136 : 2 = 68 (m)

Chiều dài là:

(68 + 14) : 2 = 41 (m)

Chiều rộng là:

41 - 14 = 27 (m)

Diện tích sân cỏ:

41 × 27 = 1107 (m²)

Cho \(x=-4\), ta có \(-5f\left(-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow f\left(-4\right)=0\)

Cho \(x=1\), ta có \(0=5f\left(-7\right)\) \(\Leftrightarrow f\left(-7\right)=0\)

Do đó \(-4,-7\) là 2 nghiệm của \(f\left(x\right)\). Đặt \(f\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x+7\right)g\left(x\right)\).

Khi đó điều kiện đề bài \(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+7\right)g\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)g\left(x-8\right)\)

Cho \(x=4\) thì ta có \(3.8.11g\left(4\right)=0\) \(\Leftrightarrow g\left(4\right)=0\)

Cho \(x=12\) thì ta có \(11.16.19.g\left(12\right)=16.8.11.g\left(4\right)=0\) (do \(g\left(4\right)=0\)) \(\Leftrightarrow g\left(12\right)=0\)

Vậy \(4,12\) là 2 nghiệm của \(g\left(x\right)\) \(\Rightarrow g\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x-12\right)h\left(x\right)\)

Vậy \(f\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x+7\right)\left(x-4\right)\left(x-12\right)h\left(x\right)\). Do đó 4 nghiệm của \(f\left(x\right)\) là \(-7,-4,4,12\)

Gọi tử số là a, mẫu số là b

Khi cộng thêm tử vào mẫu và giữ nguyên tử thì giá trị của phân số giảm đi 5 lần, tức là ta sẽ có: \(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{a}{b}:5=\dfrac{a}{5b}\)

=>\(5\times b=a+b\)

=>\(a=4\times b\)

=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{1}\)

vậy: Phân số tối giản ban đầu là 4/1

Khi cộng thêm tử số vào mẫu số và giữ nguyên tử số thì giá trị của phân số giảm đi 4 lần

=>4 lần mẫu số là mẫu số+tử số

=>Tử số =3 mẫu số

=>Phân số tối giản ban đầu là \(\dfrac{3}{1}\)

Không gian mẫu: \(C_{2n}^3\)

Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo đi qua tâm O

Chọn 1 đường chéo có n cách

Chọn 1 điểm kết hợp với đường chéo tạo thành tam giác vuông (nội tiếp chắn nửa đường tròn): có \(2n-2\) cách

\(\Rightarrow n\left(2n-2\right)\) tam giác vuông

Xác suất: \(P=\dfrac{n\left(2n-2\right)}{C_{2n}^3}=\dfrac{1}{13}\Rightarrow26n\left(n-1\right)=C_{2n}^3\)

\(\Rightarrow26n\left(n-1\right)=\dfrac{n.\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{3}\)

\(\Rightarrow n^2-21n+20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\left(loại\right)\\n=20\end{matrix}\right.\)

Trên \(\left[0;3\right]\) hàm \(y=x^2-3x\) âm nên ta cần "xoay" nó lên thành \(y=3x-x^2\)

Khi đó:

Pt hoành độ giao điểm trên \(\left[0;3\right]\): \(3x-x^2=x\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Pt hoành độ giao điểm với \(x>3\): \(x^2-3x=x\Rightarrow x=4\)

Do đó:

\(V=\pi\int\limits^2_0\left(3x-x^2\right)^2dx+\pi\int\limits^4_2x^2dx-\pi\int\limits^4_3\left(x^2-3x\right)^2dx=\dfrac{611\pi}{30}\)

\(\Rightarrow18a-300b=1998\)

Gọi số có dạng \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_6a_6}\)

Do số chẵn nên \(a_6\) có 5 cách chọn

\(a_5\) có 9 cách chọn (khác \(a_6\))

\(a_4\) có 9 cách chọn (khác \(a_5\))

....

\(a_2\) có 9 cách chọn (khác \(a_3\))

\(a_1\) có 8 cách chọn (khác 0 và \(a_2\))

\(\Rightarrow5.9.9.9.9.8\) số thỏa mãn

Chia các số từ 1 đến 100 thành 3 nhóm: 

\(A=\left\{3;6;9;...;99\right\}\) gồm 33 số chia hết cho 3

\(B=\left\{1;4;7;...;100\right\}\) gồm 34 số chia 3 dư 1

\(C=\left\{2;5;8;...;98\right\}\) gồm 33 số chia 3 dư 2

Tổng 3 số chia hết cho 3 khi: cả 3 số cùng số dư khi chia 3 - hay cùng thuộc 1 tập, 3 số thuộc 3 tập khác nhau

\(\Rightarrow C_{33}^3+C_{34}^3+C_{33}^3+C_{33}^1.C_{34}^1.C_{33}^1\) trường hợp thỏa mãn

Xác suất: \(P=\dfrac{C_{33}^3+C_{34}^3+C_{33}^3+C_{33}^1.C_{34}^1.C_{33}^1}{C_{100}^3}=\dfrac{817}{2450}\)