Theo định lí Pythagore: 

\(BC^2=AB^2+AB^2=3^2+4^2=25\Rightarrow BC=5\).

Ta có: \(R=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{3.4.5}{4.\frac{3.4}{2}}=\frac{5}{2}\)

\(S_{ngt}=\pi R^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2\pi=\frac{25}{4}\pi\).

\(2x^2+\left(2m-1\right)x+m-1=0\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4.2\left(m-1\right)=4m^2-12m+5\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)thì \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow4m^2-12m+5\ge0\Leftrightarrow\left(2m-5\right)\left(2m-1\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\le\frac{1}{2}\\m\ge\frac{5}{2}\end{cases}}\).

Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt, theo định lí Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{1-2m}{2}\\x_1x_2=\frac{m-1}{2}\end{cases}}\).

Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}3x_1-4x_2=11\\x_1+x_2=\frac{1-2m}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x_1-4x_2=11\\4x_1+4x_2=2-4m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{13-4m}{7}\\x_2=\frac{-19-6m}{14}\end{cases}}\)

\(x_1x_2=\frac{13-4m}{7}.\frac{-19-6m}{14}=\frac{m-1}{2}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-2\left(tm\right)\\m=\frac{33}{8}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Để hàm số trên đồng biến khi

 \(1-m^2>0\Leftrightarrow m^2< 1\Leftrightarrow-1< m< 1\)

Kết hợp với đk vậy  \(-1< m< 1\)

ĐK: \(x\ne1,y\ne-1\).

\(\frac{x}{x-1}+\frac{y}{y+1}=\frac{x-1+1}{x-1}+\frac{y+1-1}{y+1}=1+\frac{1}{x-1}+1-\frac{1}{y+1}=2+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y+1}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y+1}=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}\)

Đặt \(\frac{1}{x-1}=X,\frac{1}{y+1}=Y\).

Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}X-Y=-\frac{1}{2}\\3X+4Y=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}Y=X+\frac{1}{2}\\3X+4\left(X+\frac{1}{2}\right)=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}X=\frac{3}{7}\\Y=\frac{13}{14}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x-1}=\frac{3}{7}\\\frac{1}{y+1}=\frac{13}{14}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{10}{3}\\y=\frac{1}{13}\end{cases}}\).(tm).

4(x² + 1)² - (x² - 5x - 2)² = 0

<=> (2x² + 2)² -  (x² - 5x - 2)² = 0

<=> (3x² - 5x)(x² + 5x + 4) = 0

<=> x(3x - 5)(x + 1)(x + 4) = 0

<=> x = 0 hoặc x = 5/3 hoặc x = -1 hoặc x = -4

Vậy \(x\in\left\{0;-1;-4;\frac{5}{3}\right\}\)là nghiệm phương trình 

x=0 không là nghiệm.

pt <=> (x²+3)/x -2 = \(\sqrt{\frac{\left(x^2+3\right)}{x}}\)

<=> (x²+3)/x - ​\(\sqrt{\frac{\left(x^2+3\right)}{x}}\)-2 =0

<=> \(\sqrt{\frac{\left(x^2+3\right)}{x}}\)= 2

<=> x² - 4x +3 =0

<=> x=1  V x= 3

\(\sqrt{\frac{\left(x^2+3\right)}{x}}\)

1/

\(\hept{\begin{cases}3x+4y=6\left(1\right)\\2x-y=-7\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow8x-4y=-28\left(3\right)\)

Cộng 2 vế của (1) với (3) \(\Rightarrow11x=-22\Rightarrow x=-2\) Thay vào (2) \(\Rightarrow2.\left(-2\right)-y=-7\Rightarrow y=3\)

2/

a/ d cắt p tại 2 điểm phân biệt khi \(x^2=5x+m\Leftrightarrow x^2-5x-m=0\) có 2 nghiệm phân biệt

Điều kiện \(\Delta=25+4m>0\Leftrightarrow m>-\frac{25}{4}\)

b/ Khi m=-4

\(x^2-5x+4=0\Rightarrow x_1=1;x_2=4\)

Khi m=-4 d cắt p tại 2 điểm phân biệt A(1;0) và B(4;0)