Tổng số tuổi của cô giáo và 33 học sinh là:

\(12\times\left(33+1\right)=408\) (tuổi)

Tổng số tuổi của 33 học sinh là:

\(11\times33=363\) (tuổi)

Tuổi của cô giáo là:

\(408-363=45\) (tuổi)

Vậy tuổi của cô giáo là \(45\) tuổi.

\(m=\dfrac{2^7\cdot3^5+2^4\cdot3^9}{2^6\cdot3^5+2^3\cdot3^9}\)

\(m=\dfrac{2^4\cdot3^5\cdot\left(2^3+3^4\right)}{2^3\cdot3^5\cdot\left(2^3+3^4\right)}\)

\(m=\dfrac{2^4\cdot3^5}{2^3\cdot3^5}\)

\(m=\dfrac{2^4}{2^3}\)

\(m=2^{4-3}\)

\(m=2\)

Bài 1

Số thạch rau câu:

5 . 35 = 175 (chiếc)

Số que kẹo mút:

7 . 50 = 350 (que)

Số chiếc bánh sữa:

5 . 84 = 420 (chiếc)

Số học sinh của lớp là ƯC(175; 350; 420)

Ta có:

175 = 5².7

350 = 2.5².7

420 = 2².3.5.7

ƯCLN(175; 350; 420) = 5.7 = 35

ƯC(175; 350; 420) = Ư(35) = {1; 5; 7; 35}

Mà số học sinh lớn hơn 30 nên lớp có 35 học sinh

Bài 2

Xét tứ giác MNPQ có:

M = N = P = Q = 90⁰ (gt)

MNPQ là hình chữ nhật

Tứ giác GHIK có:

GH = HI = IK = GK (gt)

GHIK là hình thoi

b) Chu vi tứ giác MNPQ:

(6 + 4) . 2 = 20 (m)

Diện tích tứ giác MNPQ:

6 . 4 = 24 (m²)

c) Diện tích tứ giác GHIK:

6 . 4 : 2 = 12 (m²)

d) Số tiền trồng hoa:

12 . 55000 = 660000 (đồng)

Số tiền trồng cỏ:

(24 - 12) . 45000 = 540000 (đồng)

Số tiền trồng cả hoa và cỏ:

660000 + 540000 = 1200000 (đồng)

Do 420 a và 720 a nên a là ƯC(420; 720)

Mà a là số lớn nhất nên a = ƯCLN(420; 720)

Ta có:

420 = 2².3.5.7

720 = 2⁴.3².5

⇒ a = ƯCLN(2².3.5) = 60

Vậy số cần tìm là 60

Đặt A = 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰

= (3¹ + 3²) + (3³ + 3⁴) + ... + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

= 3.(1 + 3) + 3³.(1 + 3) + ... + 3⁹⁹.(1 + 3)

= 3.4 + 3³.4 + ... + 3⁹⁹.4

= 4.(3 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 4

Vậy A ⋮ 4

.

A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁴⁹ + 5⁵⁰

⇒ 5A = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5⁵⁰ + 5⁵¹

⇒ 4A = 5A - A

= (5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5⁵⁰ + 5⁵¹) - (5 + 5² + 5³ + ... + 5⁴⁹ + 5⁵⁰)

= 5⁵¹ - 5

⇒ A = (5⁵¹ - 5) : 4

n + 3 = n + 1 + 2

Do n > 0 nên n + 1 > 1

Để (n + 3) ⋮ (n + 1) thì 2 ⋮ (n + 1)

⇒ n + 1 ∈ Ư(2) = {2}

⇒n = 1

Gọi x (phần) là số phần quà nhiều nhất có thể chia (x )

x = ƯCLN(36; 48; 120)

Ta có:

36 = 2².3²

48 = 2⁴.3

120 = 2³.3.5

x = ƯCLN(36; 48; 120 = 2².3 = 12

Vậy số phần quà nhiều nhất có thể chia là 12 phần

b) Số bút bi của mỗi phần quà:

36 : 12 = 3 (bút bi)

Số cục gôm của mỗi phần quà:

48 : 12 = 4 (cục)

Số quyển tập của mỗi phần quà:

120 : 12 = 10 (quyển)

Theo đề bài các số dư ={1;3;5;7}

=> có ít nhất 2 số khi chia cho 15 có cùng số dư ta gọi 2 số đó là là a và b

\(\Rightarrow a\equiv b\) (mod 15) \(\Rightarrow a-b⋮15\)