F A B C E K H

a/

Xét tg ABC có

\(\widehat{CAF}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=30^o+20^o=50^o\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

Xét tg vuông AFK có

\(\widehat{AFK}=90^o-\widehat{CAF}=90^o-50^o=40^o\)

b/

Ta có \(E\in EF\) là trung trực của AC => EA=EC

=> tg EAC cân tại E \(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{ACB}=20^o\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{CAF}+\widehat{EAC}=50^o+20^o=70^o\) (1)

Xét tg EAF có

\(\widehat{AEF}=180^o-\widehat{EAF}-\widehat{AFK}=180^o-70^o-40^o=70^o\) (2)

Từ (1) và (2) => tg FAE cân tại F => AF=EF

c/

Xét tg vuông AFK và tg vuông EFH có

\(\widehat{AFE}\) chung

AF=EF (cmt)

=> tg AFK = tg EFH (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> EH=AK (3)

Mà \(AK=CK=\dfrac{AC}{2}\) (t/c đường trung trực) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow EH=\dfrac{AC}{2}\)

Xét tg vuông BEH có

\(EH=\dfrac{BE}{2}\) (trong tg vuông cạnh đối diện góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(EH=\dfrac{AC}{2}\) (cmt)

=> \(\dfrac{AC}{2}=\dfrac{BE}{2}\Rightarrow AC=BE\)

x + y + z = 49 => 12x + 12y + 12z = 588

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{2x}{3}=\dfrac{3y}{4}=\dfrac{4z}{5}=\dfrac{12x}{18}=\dfrac{12y}{16}=\dfrac{12z}{15}=\dfrac{12x+12y+12z}{18+16+15}=\dfrac{588}{49}=12\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=12.3:2\\y=12.4:3\\z=12.5:4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=18\\y=16\\z=15\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{2x}{3}=\dfrac{3y}{4}=\dfrac{4z}{5}\)

\(=>\dfrac{x}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{y}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{z}{\dfrac{5}{4}}\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau có:

   \(\dfrac{x+y+z}{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{49}{\dfrac{49}{12}}=12\)

\(@\dfrac{x}{\dfrac{3}{2}}=12=>x=18\)

\(@\dfrac{y}{\dfrac{4}{3}}=12=>y=16\)

\(@\dfrac{z}{\dfrac{5}{4}}=12=>z=15\)

\(F=\dfrac{4}{9}.\dfrac{13}{17}+\dfrac{2}{17}.\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}.\dfrac{4}{17}\)

\(F=\dfrac{4}{9}.\dfrac{13}{17}+\dfrac{2}{17}.\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}.\dfrac{2}{17}\)

\(F=\dfrac{4}{9}.(\dfrac{13}{17}+\dfrac{2}{17}+\dfrac{2}{17}\)

\(F=\dfrac{4}{9}.\dfrac{17}{17}=\dfrac{4}{9}\)

`F = 4/9 * 13/17 +2/17 * 4/9 + 2/9 * 4/17`

`F = 4/9 * 13/17 +2/17 * 4/9 + (2.4)/(9.17)`

`F = 4/9 ( 13/17 + 2/17 + 2/17)`

`F = 4/9 *17/17 =4/9*1 = 4/9`

Có: \(ABD+A=A+ACE=90^o\)

=> \(ABD=ACE\)

=> \(180^o-ABD=180^o-ACE\)

<=> \(ABH=ACK\)

Dễ thấy : \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\) do chúng cùng phụ với góc A theo tính chất của tam giác vuông 

Xét tam giác ABH và tam giác KCA có : 

BH =AC 

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

AB = CK 

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACK\) ( c . g . c )