1: ĐKXĐ: 3-2x>=0

=>2x<=3

=>\(x< =\dfrac{3}{2}\)

\(\sqrt{3-2x}=5\)

=>3-2x=25

=>2x=3-25=-22

=>\(x=-\dfrac{22}{2}=-11\left(nhận\right)\)

2: ĐKXĐ: 4x-1>=0

=>4x>=1

=>\(x>=\dfrac{1}{4}\)

\(\sqrt{4x-1}+5=7\)

=>\(\sqrt{4x-1}=2\)

=>4x-1=4

=>4x=5

=>\(x=\dfrac{5}{4}\left(nhận\right)\)

3: ĐKXĐ: 3x+5>=0

=>3x>=-5

=>\(x>=-\dfrac{5}{3}\)

\(2\sqrt{3x+5}-3=3\)

=>\(2\sqrt{3x+5}=6\)

=>\(\sqrt{3x+5}=3\)

=>3x+5=9

=>3x=4

=>\(x=\dfrac{4}{3}\left(nhận\right)\)

4: ĐKXĐ: \(x\in R\)

\(\sqrt{4x^2-28x+49}=2\)

=>\(\sqrt{\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot7+7^2}=2\)

=>\(\sqrt{\left(2x-7\right)^2}=2\)

=>|2x-7|=2

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x-7=2\\2x-7=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{9}{2}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{5}{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

6: ĐKXĐ: \(x\in R\)

\(5\sqrt{4x^2-12x+9}-3=7\)

=>\(5\cdot\sqrt{\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2}=10\)

=>\(\sqrt{\left(2x-3\right)^2}=2\)

=>|2x-3|=2

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x-3=2\\2x-3=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

5: \(\sqrt{36+24x+4x^2}-5=1\)(ĐKXĐ: \(x\in R\))

=>\(\sqrt{\left(2x\right)^2+2\cdot2x\cdot6+6^2}=6\)

=>\(\sqrt{\left(2x+6\right)^2}=6\)

=>|2x+6|=6

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x+6=6\\2x+6=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=-6\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

nhờn à

\(M=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)

=>\(M^3=7+5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+3\cdot M\cdot\sqrt[3]{\left(7+5\sqrt{2}\right)\left(7-5\sqrt{2}\right)}\)

=>\(M^3=14+3M\cdot\left(-1\right)=14-3M\)

=>\(M^3+3M-14=0\)

=>\(M^3-2M^2+2M^2-4M+7M-14=0\)

=>\(\left(M-2\right)\left(M^2+2M+7\right)=0\)

=>M-2=0

=>M=2

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{4}{2}=\dfrac{4}{\sqrt[3]{8}}>\dfrac{4}{\sqrt[3]{9}}=N\)

a: Khi m=1 thì phương trình sẽ trở thành là:

\(x^2-10\cdot1\cdot x+9\cdot1=0\)

=>\(x^2-10x+9=0\)

=>(x-1)(x-9)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=9\end{matrix}\right.\)

b: \(\text{Δ}=\left(-10m\right)^2-4\cdot1\cdot9m=100m^2-36m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>\(100m^2-36m>0\)

=>\(25m^2-9m>0\)

=>m(25m-9)>0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}25m-9>0\\m>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\25m>9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>\dfrac{9}{25}\end{matrix}\right.\)

=>\(m>\dfrac{9}{25}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}25m-9< 0\\m< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}25m< 9\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{9}{25}\\m< 0\end{matrix}\right.\)

=>m<0

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=10m\\x_1\cdot x_2=9m\end{matrix}\right.\)

mà x1-9x2=0 nên ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=10m\\x_1-9x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10x_2=10m\\x_1=9x_2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_2=m\\x_1=9m\end{matrix}\right.\)

\(x_1\cdot x_2=9m\)

=>\(9m^2=9m\)

=>\(m^2=m\)

=>\(m^2-m=0\)

=>m(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=1\left(nhận\right)\)

a: ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=15^2+20^2=625\)

=>BD=25(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có AO là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BO\cdot BD=BA^2\\DO\cdot DB=DA^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}BO\cdot25=15^2=225\\DO\cdot25=20^2=400\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BO=9\left(cm\right)\\DO=16\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét ΔABD vuông tại A có AO là đường cao

nên \(AO\cdot BD=AB\cdot AD\)

=>\(AO\cdot25=15\cdot20=300\)

=>AO=12(cm)

Xét ΔADC vuông tại D có DO là đường cao

nên \(AO\cdot AC=AD^2\)

=>\(AC\cdot12=20^2=400\)

=>\(AC=\dfrac{400}{12}=\dfrac{100}{3}\left(cm\right)\)

c: Vì hình thang ABCD có AC\(\perp\)BD

nên \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{100}{3}\cdot25=\dfrac{50}{3}\cdot25=\dfrac{1250}{3}\left(cm^2\right)\)

Lời giải:

a. Ta thấy $\widehat{AHC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn $(O)$ - chắn đường kính AC)

$\Rightarrow AH\perp HC$ hay $AH\perp BC$ (đpcm) 

b. Do tam giác $BHA$ vuông tại $H$ nên đường trung tuyến $HM$ bằng nửa cạnh huyền $BA$

$\Rightarrow HM=MA$

$\Rightarrow \widehat{MHA}=\widehat{MAH}=\widehat{BAH}=90^0-\widehat{HAC}=\widehat{HCA}$

$\Rightarrow HM$ là tiếp tuyến $(O)$.

c. 

Dễ thấy $\widehat{ADC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow DA\perp DC$

$\Rightarrow \frac{DA}{DC}=\cot \widehat{DAC}=\cot A_1(*)$

$\frac{DC}{DE}=\cot \widehat{DCE}=\cot C_1$

Mà $\widehat{C_1}=90^0-\widehat{E_1}=90^0-\widehat{E_2}=\widehat{A_2}=\widehat{A_1}$

$\Rightarrow \frac{DC}{DE}=\cot C_1=\cot A_1(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{DA}{DC}=\frac{DC}{DE}\Rightarrow DA.DE=DC^2$ 

Hình vẽ:

Lời giải:

a. Xét tứ giác $ADHE$ có $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên là hcn

$\Rightarrow AH=DE$

$\Rightarrow DE.BC=AH.BC=2S_{ABC}=AB.AC$ (đpcm) 

b.

Xét tam giác vuông $ADH$ vuông tại $D$ thì:

$\frac{AD}{AH}=\cos \widehat{DAH}=\cos (90^0-\widehat{HAC})=\cos C$

$\Rightarrow AD=AH\cos C$

Hình vẽ:

a: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI là đường cao và OI là phân giác của \(\widehat{AOB}\)

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OAC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b: I là trung điểm của AB

=>IA=IB=AB/2=12cm

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(OI^2+12^2=13^2\)

=>\(OI^2=169-144=25\)

=>\(OI=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔOAC vuông tại A có AI là đường cao

nên \(OI\cdot OC=OA^2\)

=>\(OC\cdot5=13^2=169\)

=>OC=33,8(cm)

Lời giải:
Gọi $K$ là trung điểm $AO$ thì $OK=AO:2=3:2=1,5$ (cm) 

Xét tam giác vuông $BKO$ vuông tại $K$,áp dụng định lý Pitago:

$BK=\sqrt{BO^2-OK^2}=\sqrt{3^2-1,5^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vì dây $BC\perp OA$ tại $K$ nên $K$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow BC=2BK=3\sqrt{3}$ (cm)

ĐKXĐ \(3x^2-5x+1\ge0;x^2-2\ge0;x^2-x-1\ge0\)

Ta có : \(\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3.\left(x^2-x-1\right)}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x^2-5x+1-3.\left(x^2-x-1\right)}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=\dfrac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=\dfrac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\dfrac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=0\left(∗\right)\end{matrix}\right.\)

Xét phương trình (*) ta có VT > 0 \(\forall x\) mà VP = 0

nên (*) vô nghiệm

Vậy x = 2 là nghiệm phương trình