a) \(\text{Đ}K\text{X}\text{Đ}:\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(VT=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{2x-3}=\sqrt{5-2x}\Leftrightarrow x=2\)

Lại có: \(VP=3x^2-12x+14=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

Do đó VT=VP khi x=2

b) ĐK: \(x\ge0\). Ta thấy x=0 k pk là nghiệm của pt, chia 2 vế cho x ta có:

\(x^2-2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4=0\Leftrightarrow x-2-\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{4}{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)-2=0\)

Đặt \(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=t>0\Leftrightarrow t^2=x+4+\frac{4}{x}\Leftrightarrow x+\frac{4}{x}=t^2-4\), thay vào ta có:

\(\left(t^2-4\right)-t-2=0\Leftrightarrow t^2-t-6=0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=-2\end{cases}}\)

Đối chiếu ĐK  của t

\(\Rightarrow t=3\Leftrightarrow\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=3\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}+2=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=1\end{cases}}\)

VT=\(\frac{a^2}{ab+\frac{1}{b}}+\frac{b^2}{bc+\frac{1}{c}}+\frac{c^2}{ca+\frac{1}{a}}\)

áp dụng bđt cộng mẫu đc VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{ab+bc+ca}{abc}}\left(1\right)\)

Ta có  \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\forall a,b,c\)

Nên \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3abc}}=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3abc}}=\frac{3abc}{1+abc}\left(đccm\right)\)

dấu bằng xảy ra <> a=b=c

Lớp 9 không biết có học tới sin cos âm chưa nếu chưa thì lấy phần dương nha 

\(1+tan^2a=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(1+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(1+\frac{4}{9}=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(\frac{13}{9}=\frac{1}{cos^2a}\)    

\(cos^2a=\frac{9}{13}\)   

\(cosa=\pm\sqrt{\frac{9}{13}}=\pm\frac{3\sqrt{13}}{13}\)    

\(sin^2a+cos^2a=1\)   

\(sin^2a+\frac{9}{13}=1\)    

\(sin^2a=\frac{4}{13}\)    

\(sina=\pm\sqrt{\frac{4}{13}}=\pm\frac{2\sqrt{13}}{13}\)   

tan dương nên sẽ có 2 TH 

TH1 sin và cos cùng dương 

\(\frac{sin^3a+3cos^3a}{27sin^3a-25cos^3a}\)   

\(=\frac{\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^3+3\cdot\left(\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)^3}{27\cdot\left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^3-25\cdot\left(\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)^3}\)    

\(=-\frac{89}{459}\)   

TH2 sin và cos cùng âm 

\(\frac{sin^3a+3cos^3a}{27sin^3a-25cos^3a}\)   

\(=\frac{\left(\frac{-2\sqrt{13}}{13}\right)^3+\left(\frac{-3\sqrt{13}}{13}\right)^3}{27\cdot\left(\frac{-2\sqrt{13}}{13}\right)^3-25\cdot\left(\frac{-3\sqrt{13}}{13}\right)^3}\)

\(=-\frac{89}{459}\)

ĐK:\\(x\ge1\)

GT \(\Leftrightarrow2x^2-10x+20=4\sqrt{2x-2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-12x+18+\left(2x-2-4\sqrt{2x-2}+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-3\right)^2+\left(\sqrt{2x-2}-2\right)^2=0\)

vì ... nên \(\hept{\begin{cases}x-3=0\\\sqrt{2x-2}=2\end{cases}\Leftrightarrow x=3\left(tmđk\right)}\)