K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DA
1
7 tháng 12 2020
Ta có: \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-x-y+xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow1+xy\ge x+y\)
\(\Leftrightarrow1+z+xy\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{z}{1+z+xy}\le\frac{z}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)
Tương tự CM được: \(\frac{x}{1+x+yz}\le\frac{1}{x+y+z}\) và \(\frac{y}{1+y+zx}\le\frac{1}{x+y+z}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(\frac{x}{1+x+yz}+\frac{y}{1+y+zx}+\frac{z}{1+z+xy}\le\frac{3}{x+y+z}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\)
\(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)
\(=\frac{a\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a-b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-\left(\sqrt{b}\right)^2\right]}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(dpcm\right)\)