\(---------\)

Ta có:

\(x+y+4=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)\ge2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\) (theo bđt  \(AM-GM\)  cho bộ số gồm hai số thực không âm)

nên  \(x+y+\left(x+y+4\right)\ge x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)

hay nói cách khác,  \(2\left(x+y+2\right)\ge12\)  (do   \(x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=12\)  )

\(\Rightarrow\)  \(x+y\ge4\)

Do đó, sau khi thiết lập điều kiện cho  \(x,y\) , ta tiếp tục áp dụng  \(AM-GM\)  cho 3 số thực dương đã cho trước, điển hình như:

\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y+2}{2}+2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(y+2\right)}.\frac{\left(y+2\right)}{2}.2}=3x\) 

\(\Rightarrow\)  \(\frac{x^3}{y+2}\ge3x-\frac{y+2}{2}-2\)  \(\left(1\right)\)

Đổi biến, thực hiện công đoạn trên tương tự đối với phân thức sau, rút gọn và biến đổi lặp lại:

\(\frac{y^3}{x+2}\ge3y-\frac{x+2}{2}-2\)  \(\left(2\right)\)

Gộp  \(\left(1\right)\)  và   \(\left(2\right)\)  với nhau cùng với dấu liên kết  \(\left(+\right)\) , khi đó:

\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)-6\)

Lúc đó, 

\(M\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}-6\)

\(---------\)

Đặt  \(t=x+y\)  \(\Rightarrow\)  \(t\ge4\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{t}{2}\ge2\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{t}{2}-2\ge0\)  \(\left(3\right)\)

Ta biễu diễn bđt trên lại như sau:

\(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{48}{t}-6\)

tức là   \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2\)  (do  \(\left(3\right)\)  )

hay   \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2=3t+\frac{48}{t}-8\)

Mặt khác, ta lại có:  \(3t+\frac{48}{t}\ge2\sqrt{3t.\frac{48}{t}}=24\)

nên  \(M\ge24-8=16\)

Vậy,  \(M_{min}=16\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=2\)

• cách Phước Nguyễn dài :)). Tư gt bạn suy ra đc ​​\(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\).(1)
• Áp dụng bdt cosi cho 3 số dg :\(\frac{x^3}{y+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{y+2}\ge3x\)\(\frac{^{y^3}}{x+2}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}\ge3y\)

  \(\Rightarrow\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}+2.\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}\right)\ge3\left(x+y\right)\)

 \(\Rightarrow M+8\ge3\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}\ge2.\sqrt{3.\left(x+y\right).\frac{48}{x+y}}=24\)( do (1) và áp dụng bdt cosi cho 2 số dg) . Dấu "=" xảy ra <=> x=y=2  . OK.

sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)

đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)

theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)

ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)

(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

gt thiếu kìa. 

@@ làm xong r quên k gửi 
casio à. làm luôn 2 ý nhé 
Gán \(1\rightarrow A,2\rightarrow B,1\rightarrow C,2\rightarrow D,3\rightarrow E\)
Nhập dòng lệnh trên máy :........
\(A=A+2:C=2D+3C:E=E+C:B=B+2:D=3D+2C:E=E+D\)
\(CALC\) rồi = liên tục =>................
nấy thôi nhé =='

Xét : \(1+2x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{4}\)

\(1-2x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4}\)

Ta có : \(A=\frac{\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{4}}{1+\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2}}+\frac{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4}}{1-\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2}}\)

\(=\frac{\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{4}}{1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}}+\frac{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{2\left(3+\sqrt{3}\right)}+\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2\left(3-\sqrt{3}\right)}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}+\frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\right)=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{4\sqrt{3}-4+6-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+4-6-2\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{4\sqrt{3}}{2}=1\)

WhatTheFackNgaoVc

cho online math

Tôi không biết

\(\sqrt{x^2-5x+6}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2-2x-3}\)

ĐK:  x^2-5x+6>=0<=> x<=2 hoặc x>=3

       x^2-2x-3>=0<=> x<=-1 hoặc x>=3

<=>\(\sqrt{x^2-5x+6}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2-2x-3}\)

<=>\(\sqrt{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\)

<=> \(\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x-3}-1\right)+\sqrt{x+1}\left(1-\sqrt{x-3}\right)=0\)

<=> \(\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x-3}-1\right)-\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x-3}-1\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x-3}-1\right)\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=>\(\orbr{\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-3}-1=0\\\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1}=0\end{cases}}}\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-3}=1\\\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=4\left(nhan\right)\\0x=3\left(vôly\right)=>loai\end{cases}}\)

S={4} 

ngungu

1.

đặt \(a=\sqrt{2+\sqrt{x}}\),\(b=\sqrt{2-\sqrt{x}}\)\(\left(a,b>0\right)\)

có \(a^2+b^2=4\)

pt thành \(\frac{a^2}{\sqrt{2}+a}+\frac{b^2}{\sqrt{2}-b}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)-ab\left(a-b\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+a\right)\left(\sqrt{2}-b\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}+\sqrt{2}ab-ab\left(a-b\right)-2\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+2\right)\left(\sqrt{2}-a+b\right)=0\)

vì a,b>o nên \(a-b=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2+\sqrt{x}}-\sqrt{2-\sqrt{x}}=\sqrt{2}\)

Bình phương 2 vế:

\(4-2\sqrt{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x}=1\)

\(\Rightarrow x=3\)

Nếu đúng thì tích giùm mình cái nha!!!!!!!!!!!

Câu 2a. Theo đầu bài ta có hình:

Nhìn hình ta thấy: S_MNP = S_ABC - ( S_MBN + S_AMP + S_PNC )

1) Do BN = 1/4 BC  =>  S_ABN = 1/4 S_ABC
Do AM + MB = AB mà AM = 1/4 AB  =>  MB = 3/4 AB  =>  S_MBN = 3/4 S_ABN
=> S_MBN = 3/4 * 1/4 = 3/16 S_ABC

2) Do AM = 1/4 AB  =>  S_AMC = 1/4 S_ABC
Do CP + PA = CA mà CP = 1/4 CA  =>  PA = 3/4 CA  =>  S_AMP = 3/4 S_AMC
=> S_AMP = 3/4 * 1/4 = 3/16 S_ABC

3) Do CP = 1/4 CA  =>  S_PBC = 1/4 S_ABC
Do BN + NC = BC mà BN = 1/4 BC  =>  NC = 3/4 BC  =>  S_PNC = 3/4 S_PBC
=> S_PNC = 3/4 * 1/4 = 3/16 S_ABC

Từ 1), 2), 3) và phép tính trên suy ra S_MNP = S_ABC - ( 3/16 S_ABC + 3/16 S_ABC + 3/16 S_ABC ) = 7/16 S_ABC

bạn có thể giúp mình tất cả các bài còn lại đc ko

x bang 5

bang 5

Bạn tự vẽ hình nhé :))

Từ B kẻ tia Bx cắt AD tại E sao cho góc ABE = góc ADC.

\(\Delta AEB\)và \(\Delta ACD\)có:  góc ABE = góc ADC (cách dựng) và góc BAE = góc DAC (gt)

\(\Rightarrow\)\(\Delta AEB\)đồng dạng \(\Delta ACD\)\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\)\(\Rightarrow\)\(AB.AC=AE.AD\)(1)

\(\Rightarrow\)góc BED = góc ACD.

\(\Delta ACD\)và \(\Delta BED\)có:  góc ACD = góc BED (cmt) và góc ADC = góc BDE (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ACD\)đồng dạng \(\Delta BED\)\(\Rightarrow\)\(\frac{DB}{AD}=\frac{DE}{DC}\)\(\Rightarrow\)\(DB.DC=DE.AD\)(2)

Lấy (1) - (2) vế theo vế ta được \(AB.AC-DB.DC=AD\left(AE-DE\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(AD^2=AB.AC-DB.DC\)(đpcm).

Cảm ơn bạn nhiều