Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc BC.
Chứng minh MA.BC < MC.AB+MB.AC.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ dàng chứng minh IC,IA,IB lần lượt vuông góc với DE,EF,DF
nên \(DE=2DS=2CD.\sin\dfrac{C}{2}=\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}\)
tương tự với EF và DF,ta cần chứng minh :
\(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).\sin\dfrac{C}{2}}{\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)
có bổ đề :\(\sin\dfrac{A}{2}\le\dfrac{a}{b+c}\) ( H.b)( tự chứng minh)
nên BĐT cần chứng minh : \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right).c}{\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\le\dfrac{3}{2}\)
AM-GM: \(\left(a+b\right)\sqrt{ab}\ge2\sqrt{ab}.\sqrt{ab}=2ab\)
Tương tự: \(VT\le\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c}{2ab}=\dfrac{\sum ab\left(a+b\right)-\sum a^3}{2abc}\)
Áp dụng BĐT schur: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc\)
( cm : \(\Leftrightarrow\sum a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\ge0\) và ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)...Google để chi tiết )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c.( a,b,c>0)
P/s: để ý rằng \(\sum\dfrac{\left(a+b-c\right)c^2}{2abc}=\sum\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)a}{2abc}=\sum\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\sum\cos A\)
Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{4}\\y\ge\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=3\sqrt{4y-3}\left(1\right)\\2y\sqrt{x}+x\sqrt{y}=3\sqrt{4x-3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1) - (2) ta được
\(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}+3\left(\sqrt{4x-3}-\sqrt{4y-3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\dfrac{12\left(x-y\right)}{\sqrt{4x-3}+\sqrt{4y-3}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{xy}+\dfrac{12\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{4x-3}+\sqrt{4y-3}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{4x-3}\)
\(\Leftrightarrow x^3=4x-3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x-3\right)=0\)
Tới đây bí
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{4}\\y\ge\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=3\sqrt{4y-3}\left(1\right)\\2y\sqrt{x}+x\sqrt{y}=3\sqrt{4x-3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy \(\left(1\right)-\left(2\right)\) theo từng vế:
\(2x\sqrt{y}+y\sqrt{x}-2y\sqrt{x}-x\sqrt{y}=3\sqrt{4y-3}-3\sqrt{4x-3}\)
\(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}-3\left(\sqrt{4y-3}-\sqrt{4x-3}\right)=0\)
\(\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\dfrac{12\left(x-y\right)}{\sqrt{4x-3}+\sqrt{4y-3}}=0\)
\(\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{xy}+\dfrac{12\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{4x-3}-\sqrt{4y-3}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{4x-3}\)
\(\Rightarrow x^3=4x-3\)
\(\left(x-1\right)\left(x^2+x+3\right)=0\)
Dễ thấy: \(x^2+x+3=x^2+2x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\forall x\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(\Rightarrow y=1\)
\(\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x=1+4=5\)\(\Rightarrow\cos^2x=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)\(\Rightarrow\sin x=\tan x.\cos x=\left(-2\right).\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{-2\sqrt{5}}{5}\)
\(A=\dfrac{\dfrac{-4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}}{\dfrac{\sqrt{5}}{5}+\dfrac{6\sqrt{5}}{5}}\)\(=\dfrac{-3}{7}\)
Guể :v t nhớ làm bài này rồi mà :v
Đặt \(x=\dfrac{bc}{a^2};y=\dfrac{ac}{b^2};z=\dfrac{ab}{c^2}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}abc=1\\a,b,c>0\end{matrix}\right.\)
Và \(BDT\Leftrightarrow\dfrac{a^4}{b^2c^2+a^2bc+a^4}+\dfrac{b^4}{a^2c^2+ab^2c+b^4}+\dfrac{c^4}{a^2b^2+abc^2+c^4}\ge1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{b^2c^2+a^2bc+a^2c^2+ab^2c+a^2b^2+abc^2+a^4+b^4+c^4}\)
Cần chứng minh \(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{b^2c^2+a^2bc+a^2c^2+ab^2c+a^2b^2+abc^2+a^4+b^4+c^4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge b^2c^2+a^2bc+a^2c^2+ab^2c+a^2b^2+abc^2+a^4+b^4+c^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge b^2c^2+a^2bc+a^2c^2+ab^2c+a^2b^2+abc^2+a^4+b^4+c^4\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab^2c+a^2bc+abc^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) *Đúng theo AM-GM*
uh bài này làm rồi, tại lúc đó đầu hơi ngu nên không nhớ ra, thông cảm nhé
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}S_{BDF}=x\\S_{CEF}=y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{ADF}=3x\\S_{AEF}=4y\\S_{ABF}=4x\\S_{ACF}=5y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{ABE}=4x+4y=\dfrac{4}{5}S_{ABC}\\S_{ACD}=3x+5y=\dfrac{3}{4}S_{ABC}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20x+20y=4S_{ABC}\\12x+20y=3S_{ABC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=8x=2S_{ABF}\)
Xong
\(M=\sqrt{\dfrac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}}\)
\(\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{a}{b+c+2a}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{b}{c+a+2b}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{c}{a+b+2c}\)
\(\le\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(S=\sum\limits^{121}_2\left(\dfrac{1}{x\sqrt{\left(x-1\right)}+\left(x-1\right)\sqrt{x}}\right)\)
\(S=0,9090909091\)
Kẽ Bx // AC cắt AM tại Q.
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{MA}{AQ}=\dfrac{MC}{BC}\\\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{AC}{BQ}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MA.BC=MC.AQ\\MC.BQ=MB.AC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MB.AC+MC.AB=MC.BQ+MC.AB=MC\left(AB+BQ\right)>MC.AQ=MA.BC\)
sp làm đúng lúc con cần luôn :V Tks Sp