Phần tự luận (8 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Có 6 giá trị khác nhau.

b) Trong số 40 số liệu thống kê, có: 5 lần quay vào số 1, 6 lần quay vào số 2, 8 lần quay vào số 3, 7 lần quay vào số 4, 7 lần quay vào số 5 và 7 lần quay vào số 6.

Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê:

Biểu đồ dạng cột của tần số mẫu số liệu có dạng:

c) Các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 có tần số tương đối lần lượt là:

Bảng tần số tương đối:

Hướng dẫn giải:

a) = {(Ngữ văn; Mĩ thuật); (Ngữ văn; Công nghệ); (Mĩ thuật; Ngữ văn); (Mĩ thuật; Công nghệ); (Công nghệ; Mĩ thuật),;(Công nghệ; Ngữ văn)}.

b)

- Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: (Ngữ văn; Mĩ thuật), (Ngữ văn; Công nghệ), (Mĩ thuật; Ngữ văn), (Công nghệ; Ngữ văn).

- Không có kết quả thuận lợi nào cho biến cố B.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $OA=2R$ mà $OI+IA=OA$ nên $R+IA=2R$.

Suy ra $OI=IA=R=\dfrac{OA}{2}$.

Theo đề bài $AB$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ nên ta có $\widehat{OBA}=90^\circ$.

Xét $\Delta OBA$ vuông tại $B$ có: $BI$ là đường trung tuyến ứng với $OA$.

Suy ra $IB=IO=IA=\dfrac{OA}{2}$.

Do đó $O$, $B$, $A$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ đường kính $OA$ (1).

Chứng minh tương tự ta có $O$, $C$, $A$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA$ (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra bốn điểm $A$, $B$, $O$, $C$ cùng thuộc một đường tròn. (điều phải chứng minh).

b) $AB$, $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ nên $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $A$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Mà $OB = OC = R$.

Suy ra $O$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Do đó: $OA$ là đường trung trực của $BC$.

Nên $OA \perp BC$.

Xét $\Delta BCD$ có: $OB = OC = R$.

Mà $CO$ là trung tuyến ứng với $BD$ suy ra $\Delta BCD$ vuông tại $C$.

Suy ra $BC \perp DC$.

Do đó $DC$ // $OA$ (Vì cùng vuông góc với $BC$) hay $CE$ // $OA$.

Do đó $OCEA$ là hình thang (3).

Vì đường trung trực của $BD$ cắt $CD$ tại $E$ nên $DO \perp OE$ nên $\widehat{DOE}=90^\circ$.

Xét $\Delta ODE$ và $\Delta BOA$ ta có:

$OB=OD=R$

$\widehat{BOA}=\widehat{ODE}$ (hai góc đồng vị)

$\widehat{OBA}=\widehat{DOE}=90^\circ$

Suy ra $\Delta ODE=\Delta BOA$ (g.c.g).

Suy ra $OE = AB$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB = AC$ (chứng minh trên) nên ta có: $OE = AC$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác $OCEA$ là hình thang cân (điều phải chứng minh).

c) Vì $AB, \, AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O ; R)$ nên $AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat{BAO}=\widehat{SAO}$.

Ta chứng minh được $AB$ // $OS$ (cùng vuông góc với $BD$) nên $\widehat{BAO}=\widehat{SOA}$.

Suy ra $\widehat{SAO}=\widehat{SOA}$ hay $\Delta SOA$ cân tại $S$.

Lại có $ SI$ là đường trung tuyến ($OI=IA=\dfrac{OA}{2}=R$).

Suy ra $SI \perp OA$ hay $KS \perp OA$ (5).

Vì $OS$ là đường trung trực của $BD$ (giả thiết) nên $OS \perp BO$.

Mà $AB \perp BO$ (do $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$).

Suy ra $AB$ // $OS$.

Do đó $\widehat{IAK}=\widehat{IOS}$ (hai góc so le trong).

Xét  $\Delta OIS$ và $\Delta AIK$ có:

$IO = IA$ (chứng minh trên)

$\widehat{AIK}=\widehat{OIS}=90^\circ$ (do $KS \perp OA$)

$\widehat{IAK}=\widehat{IOS}$ (chứng minh trên) 

Suy ra $\Delta OIS=\Delta AIK$ (g.c.g) nên $IK = IS$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác $OKAS$ có: $I$ là trung điểm của $KS$ ($IK = IS$); 

$I$ là trung điểm của $OA$ ($OI = IA$).

Suy ra tứ giác $OKAS$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) (6).

Từ (5) và (6) suy ra tứ giác $OKAS$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

Ta có $\Delta OAB$ vuông tại $B$ có $OA = 2OB = 2R$.

Suy ra  $\widehat{OAB}=30^\circ$ hay $\widehat{KAI}=30^\circ$.

Xét  $\Delta KAI$ vuông tại $I$ có: $\tan KAI=\tan 30^\circ=\dfrac{KI}{AI}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra $KI=AI.\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}R$

Suy ra $KS=2KI=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R$

Vậy diện tích của tứ giác $AKOS$ là:

${{S}_{AKOS}}=\dfrac{OA.SK}{2}=\dfrac{2R.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R^2$.

Hướng dẫn giải:

Diện tích mặt cắt của hai đầu hình chữ nhật là:

$2 . 5 . 15 = 150$ (cm²)

Diện tích hình tròn ($O; 15$ cm) là:

$S_1=\pi .15^2=225\pi $ (cm²)

Diện tích hình tròn ($O; 10$ cm) là:

$S_2=\pi .10^2=100\pi $ (cm²)

Nên diện tích nửa hình vành khuyên giới hạn bởi hai nửa đường tròn là:

$\dfrac{S_1-S_2}{2}=\dfrac{225\pi -100\pi }{2}=62,5\pi \approx 196,35$ (cm²)

Suy ra diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó là:

$150 + 196,35 = 346,35$ (cm²)

Vậy diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó là $346,35$ cm².