Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn SVIP

I. Khái niệm bất phương trình một ẩn

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn $x$ là mệnh đề chứa biến có dạng

$f(x)<g(x)$,  ($f(x) \leq g(x)$)      (1)

trong đó $f(x)$ và $g(x)$ là những biểu thức của $x$.

Ta gọi $f(x)$ và $g(x)$ lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực $x_0$ sao cho $f(x_0) < g(x_0)$ ($f(x_0) \leq g(x_0)$) là mệnh đề đúng được gọi là nghiệm của bất phương trình (1).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

CHÚ Ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau $g(x)>f(x)$,     ($g(x) \geq f(x)$).

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số $x$ để $f(x)$ và $g(x)$ có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

Ví dụ: 

Điều kiện của bất phương trình $\sqrt{3-x} +\sqrt{x+1} \leq x^2$ là $3-x \geq 0$ và $x+1 \leq 0$.

3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như hằng số và được gọi là tham số. Chẳng hạn:

$(2m-1)x+3<0$

$x^2-mx+1 \leq 0$ có thể được coi là những bất phương trình ẩn $x$ tham số $m$.

II. Hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình ẩn $x$ gồm một số bất phương trình ẩn $x$ mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

III. Một số phép biến đổi bất phương trình

1. Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương  và dùng ký hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng ký hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương đó.

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình), ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

3. Cộng, trừ

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

\(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P\left(x\right)+f\left(x\right)< Q\left(x\right)+f\left(x\right)\)

4. Nhân, chia 

\(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P\left(x\right).f\left(x\right)< Q\left(x\right).f\left(x\right)\) nếu \(f\left(x\right)>0,\forall x\).

\(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P\left(x\right).f\left(x\right)< Q\left(x\right).f\left(x\right)\) nếu \(f\left(x\right)>0,\forall x\).

5. Bình phương 

\(P\left(x\right)< Q\left(x\right)\Leftrightarrow P^2\left(x\right)< Q^2\left(x\right)\) nếu $P(x)\geq 0; Q(x) \geq 0$, \(\forall x\)