Kiến thức nền tảng: Đường tròn SVIP

1. Khái niệm đường tròn

Định nghĩa: Trong mặt phẳng, đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ (với $R>0$) là tập hợp các điểm cách điểm $O$ cố định một khoảng $R$, kí hiệu là: $( O;R )$.

Chú ý:

+ Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính.

+ Khi không chú ý đến bán kính của đường tròn $( O;R )$, ta cũng có thể kí hiệu đường tròn $(O)$.

2. Tính chất đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng: Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Đường tròn là hình có trục đối xứng: Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

 3. Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn

Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường tròn.

Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn. Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính của đường tròn đó.

 4. Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn

Điểm $M$ nằm trên đường tròn $(O)$ nếu $OM=R$;

Điểm $N$ nằm trong đường tròn $(O)$ nếu $ON<R$;

Điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ nếu $OP>R$.

5. Vị trí của hai đường tròn

Cho hai đường tròn $( O;R )$ và $( O';r ), \,( R \ge r )$.

Chú ý:

+ Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.

+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bảng tóm vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn ($d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$)

7. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Chú ý: Ta có tính chất của tiếp tuyến như sau:

+ Tiếp tuyến của một đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

+ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.       

8. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

9. Cung. Số đo của cung

a. Cung

+ Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm $A, \, B$ trên đường tròn gọi là cung $AB$, kí hiệu là $\overset\frown{AB}$.

+ Cung nằm bên trong góc ở tâm $AOB$ được gọi là cung nhỏ, kí hiệu là $\overset\frown{AmB}$. Ta còn nói $\overset\frown{AmB}$ là cung bị chắn bởi góc $AOB$ hay góc $AOB$ chắn cung nhỏ $AmB$.

+ Cung nằm bên ngoài góc ở tâm $AOB$ gọi là cung lớn, kí hiệu là $\overset\frown{AnB}$.

b. Số đo của cung

+ Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

+ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ$ và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)

+ Số đo của nửa đường tròn bằng $180^\circ$.

+ Số đo cung $AB$, kí hiệu là sđ$\overset\frown{AB}$

Nhận xét:

+ Khi hai mút của cung trùng nhau ta có "cung không" với số đo $0^\circ$ và cung cả đường tròn có số đo bằng $360^\circ$.

+ Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^\circ$, cung lớn có số đo lớn hơn $180^\circ$. Cung nửa đường tròn có số đo bằng $180^\circ$.

+ Góc ở tâm chắn một cung mà cung đó là nửa đường tròn thì có số đo bằng ${{180}^{0}}$.

+ Trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau), hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

+ Nếu $C$ là điểm nằm trên cung $AB$ thì sđ$\overset\frown{ACB}=$ sđ$\overset\frown{ACB}+$ sđ$\overset\frown{CB}$

10. Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Định nghĩa:

+ Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

+ Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp. Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.

Định lí: Mỗi góc ở tâm có số đo gấp hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Chú ý: Trong một đường tròn:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng $90^\circ$.

11. Độ dài cung tròn

Trong một đường tròn bán kính $R$, độ dài $l$ của một cung $n^\circ$ được tính theo công thức: $l=\dfrac{\pi R.n}{180}$.      

Chú ý:

+ Chu vi đường tròn đường kính $d$ là $C=\pi d$

+ Chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C=2\pi R$.

12. Hình quạt tròn

Hình quạt tròn (hay còn gọi tắt là hình quạt) là một phần hình tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó. Diện tích hình quạt tròn bán kính $R$, cung $n^\circ$ là: $S=\dfrac{\pi {{R}^{2}}n}{360}$

Chú ý:

+ Gọi $l$ là độ dài cung tròn có số đo $n^\circ$ thì diện tích hình quạt tròn bán kính \[R\], cung có số đo ${{n}^{0}}$ là: $S=\dfrac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\dfrac{\pi Rn}{180}=\dfrac{l.R}{2}$      

+ Hình viên phân là hình giới hạn bởi một cung tròn và dây cung của đường tròn.

+ Diện tích của một hình tròn bán kính $R$ là: $S=\pi {{R}^{2}}$.

13. Hình vành khuyên

Hình giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm được gọi là hình vành khuyên. Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn $(O;R)$ và $(O;r)$ (với $R>r$) có diện tích là: $S=\pi (R^2-r^2)$.