Cho hàm số $y=\dfrac{m{{x}^{2}}+\left(m+2 \right)x+5}{{{x}^{2}}+1}$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ sao cho đồ thị hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $\dfrac{25}{4}$. Tính tổng giá trị các phần tử thuộc tập $S$.

Trả lời: 

Người ta muốn làm một cái bể dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có thể tích bằng $1$ m$^3$. Chiều cao của bể là $5$dm, các kích thước khác là $x$ m, $y$ m với $x>0$ và $y>0$. Diện tích toàn phần của bể (không kể nắp) là hàm số $S(x)$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $S(x)$ là đường thẳng $y=ax+b$. Tính $P=a^2+b^2$.

Trả lời:

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x(t)=t^3-6 t^2+9 t$ với $t \geq 0$. Khi đó $x'(t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t);\, v'(t)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$. Vận tốc của chất điểm giảm dần tới thời điểm $t_a$ lại bắt đầu tăng dần. Tính $t_a$.

Trả lời:

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0\lt x\lt 2\,000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x )=2\,000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x )=x^2+1\,440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng), $(0\lt x\lt 300)$. Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Trả lời:

Từ một miếng tôn có hình dạng là một nửa hình tròn bán kính $R=3$, người ta cắt ra một miếng hình chữ nhật $MNPQ$ như mô tả trong hình vẽ.

Diện tích lớn nhất có thể có của hình chữ nhật nêu trên là bao nhiêu (đơn vị diện tích)? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)

Trả lời:

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Phương trình ${f}'\left[5-3f(x)\right]=0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Trả lời: