Từ một tấm tôn hình chữ nhật có các kích thước là $x$ (m), $y$ (m) với $x>1$ và $y>1$ và diện tích bằng $4$ m$^2$, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một cái thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có chiều cao bằng $0,5$ m.

Thể tích của thùng là hàm số $V(x)$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{V(x)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Trả lời:

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $y = f(t)=\dfrac{5\,000}{1+5 \mathrm{e}^{-t}}, \, t \geq 0,$ trong đó thời gian $t$ (năm) được tính kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả tới chữ số hàng phần mười)

Trả lời:  

Một cửa hàng kinh doanh rau tươi ước tính doanh thu bởi hàm số $f(x)=x^2-29 \, 000x+1 \, 000 \, 100 \, 000$ (đồng) và tiền lãi thu được là $g(x)=1 \, 000x+100 \, 000$ (đồng) với $x$ (đồng) là giá bán cho mỗi kg rau tươi. Biết doanh thu bằng tổng tiền lãi và tiền vốn. Tìm giá bán mỗi kg rau tươi (đơn vị nghìn đồng) sao cho cửa hàng phải bỏ vốn ra ít nhất.

Trả lời:

Từ một miếng tôn có hình dạng là một nửa hình tròn bán kính $R=3$, người ta cắt ra một miếng hình chữ nhật $MNPQ$ như mô tả trong hình vẽ.

Diện tích lớn nhất có thể có của hình chữ nhật nêu trên là bao nhiêu (đơn vị diện tích)? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)

Trả lời:

Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết rằng hàm số $y=f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Đồ thị hàm số $y=f\left(3x-2 \right)$ cắt đường thẳng $y=2x-3$ tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

Trả lời:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $f(-3)=f(3)=\dfrac12$. Biết rằng hàm số $y=f'(x)$ là một hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số $g(x)=\big[f(3-x)\big]^2-f(3-x)$ đồng biến trên khoảng $(a ; +\infty)$. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của $a$.

Trả lời: