Cho biết hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f'\left(x \right)$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Nguyên hàm $I=\displaystyle \int{\left[ 2f(x)+f'\left(x \right)+1 \right]}\mathrm{d}x$ bằng

Biết $\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{5^x}{\ln 5}+3x+C$, khi đó $f(x)$ bằng

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^{\frac43}$ là

Giả sử $F\left(x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$. Biết $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=1$ và $F\left(0 \right)=2$, giá trị của $F\left(1 \right)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(2;1;1)$ và vuông góc với trục tung là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. Bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha): \, 2x-2y-z+3=0$ là

Mặt phẳng $(\alpha): \, 2x-5y-z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=3x^2$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện $F\left(1 \right)=-1$. Hàm số $F(x)$ là

Nếu $\displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi}3} [ \sin x-3f(x) ] \mathrm{d}x=6$ thì $\displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi }3} f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Gọi $a,\,b$ là các số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\mathrm{d}x}{4-x^2}}=\dfrac{\ln a}{b}$. Giá trị của $a+b$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2 ; 3 ; 2)$ và $B(2 ; 1 ; 0)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B(2;1;-3)$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q): \, x+y+3z=0$, $(R): \, 2x-y+z=0$ là

Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \, (a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có đồ thị $\left(C \right)$. Biết rằng đồ thị $\left(C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số $y={f}'\left(x \right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;3;-1),\,B(4;1;0),\,C(4;7;3)$.

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=4t$ m/s, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được $10$ giây thì ô tô gặp chuớng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-3$ m/s$^2$ cho đến khi dừng hẳn.