Bài toán nâng cao và ứng dụng bất phương trình bậc nhất một ẩn SVIP

Hướng dẫn giải:

Các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số $m$ vì:

a) $\Big(m^2+\dfrac12\Big)x-1 \le 0$

Ta có: $m^2+\dfrac12>0$ với mọi $m$ nên $m^2+\dfrac12 \ne 0$ với mọi $m$.

b) $-\Big(m^2+m+2\Big)x \le -m+2 \, 024$

Ta có: $-\Big(m^2+m+2\Big)=-\Big[ \Big(m+\dfrac12\Big)^2+\dfrac74\Big] < 0$ với mọi $m$ nên $-\Big(m^2+m+2\Big) \ne 0$ với mọi $m$.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $x$ (phút) là thời gian gọi trong một tháng ($x > 0$).

Theo bài, phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau, mà cước thuê bao hàng tháng của gói A nhỏ hơn gói B ($32 < 44$) nên thời gian gọi phải nhiều hơn $45$ phút do tính thêm phí cho phút gọi thêm. Tức là $x > 45$.

+ Đối với gói cước A:

Thời gian gọi thêm là: $x - 45$ (phút);

Phí cần trả cho số phút gọi thêm là: $0,4.(x - 45)$ (USD);

Phí phải trả cho hãng viễn thông là: $T_1 = 32 + 0,4.(x - 45)$ (USD).

+ Đối với gói cước B:

Phí cần trả cho x phút gọi là: $0,25x$ (USD);

Phí phải trả cho hãng viễn thông là: $T_2 = 44 + 0,25x$ (USD).

Để phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau thì ta có phương trình sau: $T_1 = T_2$, hay

$44 + 0,25x = 32 + 0,4.(x - 45)$.

$44 + 0,25x = 32 + 0,4x - 0,4.45$

$0,25x - 0,4x = 32 - 18 - 44$

$-0,15x = -30$

$x = 200$ (thỏa mãn điều kiện $x > 45$).

Vậy thời gian gọi mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước như nhau là $200$ phút.

b) + Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là $180$ phút trong $1$ tháng, tức là $x \le 180$ thì:

$x - 45 \le 180 - 45$

$x - 45 \le 135$

$0,4.(x - 45) \le 54$

$32 + 0,4.(x - 45) \le 32 + 54$

Suy ra $T_1 \le 86.$

$0,25x \le 45$

$44 + 0,25x \le 44 + 45$

Suy ra $T_2 \le 89$.

Khi đó, khách hàng chỉ gọi tối đa là $180$ phút trong $1$ tháng thì nên dùng gói cước A để mất chi phí rẻ hơn.

+ Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là $500$ phút trong $1$ tháng, tức là $x \le 500$ thì:

$x - 45 \le 500 - 45$

$x - 45 \le 455$

$ 0,4.(x - 45) \le 182$

$32 + 0,4.(x - 45) \le 32 + 182$

Suy ra $T_1 \le 214$.

$0,25x \le 125 $

$44 + 0,25x \le 44 + 125$

Suy ra $T_2 \le 169.$

Khi đó, khách hàng chỉ gọi tối đa là $500$ phút trong $1$ tháng thì nên dùng gói cước B để mất chi phí rẻ hơn.

Hướng dẫn giải:

a) $\dfrac{x+2}{6}+\dfrac{x+5}{3}>\dfrac{x+3}{5}+\dfrac{x+6}{2}$

Cộng thêm $1$ vào mỗi phân thức, ta có:

$\dfrac{x+2}{6}+1+\dfrac{x+5}{3}+1>\dfrac{x+3}{5}+1+\dfrac{x+6}{2}+1$

$\dfrac{x+8}{6}+\dfrac{x+8}{3}>\dfrac{x+8}{5}+\dfrac{x+8}{2}$

$\dfrac{x+8}{6}+\dfrac{x+8}{3}-\dfrac{x+8}{5}-\dfrac{x+8}{2}>0$

$(x+8)\Big(\dfrac16+\dfrac13-\dfrac15-\dfrac12\Big)>0$

$x+8<0$ vì $\dfrac16+\dfrac13-\dfrac15-\dfrac12<0$

$x<-8$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-8$

b) $\dfrac{x-2}{1 \, 007}+\dfrac{x-1}{1 \, 008}<\dfrac{2x-1}{2 \, 017}+\dfrac{2x-3}{2 \, 015}$

Nhân thêm $2$ cho cả tử và mẫu của mỗi phân thức vế trái, ta được:

$\dfrac{2x-4}{2 \, 014}+\dfrac{2x-2}{2 \, 016}<\dfrac{2x-1}{2 \, 017}+\dfrac{2x-3}{2 \, 015}$

Cộng thêm $-1$ vào mỗi phân thức, ta được:

$\dfrac{2x-4}{2 \, 014}-1+\dfrac{2x-2}{2 \, 016}-1<\dfrac{2x-1}{2 \, 017}-1+\dfrac{2x-3}{2 \, 015}-1$

$\dfrac{2x-2 \, 018}{2 \, 014}+\dfrac{2x-2 \, 018}{2 \, 016}<\dfrac{2x-2 \, 018}{2 \, 017}+\dfrac{2x-2 \, 018}{2 \, 015}$

$\dfrac{2x-2\, 018}{2 \, 014}+\dfrac{2x-2 \, 018}{2 \, 016}-\dfrac{2x-2 \, 018}{2 \, 017}-\dfrac{2x-2 \, 018}{2 \, 015}<0$

$(2x-2 \, 018)\Big(\dfrac{1}{2 \, 014}+\dfrac{1}{2 \, 016}-\dfrac{1}{2 \, 017}-\dfrac{1}{2 \, 015} \Big)<0$.

$2x-2 \, 018<0$ vì $\dfrac{1}{2 \, 014}+\dfrac{1}{2 \, 016}-\dfrac{1}{2 \, 017}-\dfrac{1}{2 \, 015}>0$

$x<1 \, 009$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<1 \, 009$.

Hướng dẫn giải:

a) $\dfrac{x+2 \, 004}{2 \, 005}+\dfrac{x+2 \, 005}{2 \, 006}<\dfrac{x+2 \, 006}{2 \, 007}+\dfrac{x+2 \, 007}{2 \, 008} $

$\dfrac{x+2 \, 004}{2 \, 005}-1+\dfrac{x+2 \, 005}{2 \, 006}-1<\dfrac{x+2 \, 006}{2 \, 007}-1+\dfrac{x+2 \, 007}{2 \, 008}-1$

$\dfrac{x-1}{2 \, 005}+\dfrac{x-1}{2 \, 006}-\dfrac{x-1}{2 \, 007}-\dfrac{x-1}{2 \, 008}<0$

$(x-1)\Big(\dfrac{1}{2 \, 005}+\dfrac{1}{2 \, 006}-\dfrac{1}{2 \, 007}-\dfrac{1}{2 \, 008}\Big)<0$

$x-1<0$ do $\dfrac{1}{2 \, 005}+\dfrac{1}{2 \, 006}-\dfrac{1}{2 \, 007}-\dfrac{1}{2 \, 008}>0$

$x<1$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm $x<1$.

b) $\dfrac{x-2}{2 \, 002}+\dfrac{x-4}{2 \, 000}<\dfrac{x-3}{2 \, 001}+\dfrac{x-5}{1 \, 999}$

$\dfrac{x-2}{2 \, 002}-1+\dfrac{x-4}{2 \, 000}-1<\dfrac{x-3}{2 \, 001}-1+\dfrac{x-5}{1 \, 999}-1 $

$\dfrac{x-2 \, 004}{2 \, 002}+\dfrac{x-2 \, 004}{2 \, 000}<\dfrac{x-2 \, 004}{2 \, 001}+\dfrac{x-2 \, 004}{1 \, 999}$

$(x-2 \, 004)\Big(\dfrac{1}{2 \, 002}+\dfrac{1}{2 \, 000}-\dfrac{1}{2 \, 001}-\dfrac{1}{1 \, 999}\Big)<0 $

$x-2 \, 004$ do $\dfrac{1}{2 \, 002}+\dfrac{1}{2 \, 000}-\dfrac{1}{2 \, 001}-\dfrac{1}{1 \, 999}<0$

$x>2 \, 004$.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm $x>2 \, 004$

c) $\dfrac{x-ab}{a+b}+\dfrac{x-bc}{b+c}+\dfrac{x-ac}{a+c}>a+b+c$

$\dfrac{x-ab}{a+b}-c+\dfrac{x-bc}{b+c}-a+\dfrac{x-ac}{a+c}-b>0$

$\dfrac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\dfrac{x-bc-ab-ac}{b+c}+\dfrac{x-ac-bc-ab}{a+c}>0$

$(x-ab-ac-bc)\Big(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c} \Big)>0$

$x-ab-ac-bc>0$ do $a,  \, b,  \, c > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}>0$

$x>ab+ac+bc$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm $x>ab+ac+bc$.