Dãy số Fibonacci và trò chơi đoán số: Tìm ra con số bí mật

Dãy số Fibonacci, được đặt tên theo nhà toán học người Ý Leonardo của Pisa (được biết đến với cái tên Fibonacci) - là một dãy số vô hạn bắt đầu bằng $0$ và $1$, trong đó mỗi số tiếp theo là tổng của hai số đứng trước nó, có thể được định nghĩa bằng công thức truy hồi sau:

$F_n=F_{n-1}+F_{n−2}$,

với các giá trị ban đầu: $F_0=0$, $F_1=1$.

Dựa trên công thức này, dãy số bắt đầu như sau: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...$

Nhà toán học người Bỉ Edouard Zeckendorf - người đã chứng minh được rằng: "Mọi số tự nhiên dương đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổng của những số không kề nhau trong dãy số Fibonacci, bắt đầu từ số hạng thứ hai, $(F(n))_{n≥2}$".

Ví dụ như số $38$ được biểu diễn một cách duy nhất thành $1 +3 + 34$, trong đó $1$, $3$, $34$ tương ứng với những số không kề nhau $F(2)$, $F(4)$ và $F(9)$ trong dãy Fibonacci.

Một ứng dụng khá là ấn tượng của định lí Zeckendorf trong ảo thuật, cụ thể hơn là trong trò chơi đoán số.

Đầu tiên, ta có 10 lá bài ma thuật được tạo ra dựa trên biểu diễn duy nhất của một số tự nhiên dương theo cơ số Fibonacci như sau:

Những lá bài ma thuật được tạo thành bằng cách áp dụng định lí Zeckendorf. Nếu để ý, bạn sẽ thấy ngay rằng những số ngoài cùng bên trái của hàng đầu tiên là những số đầu tiên trong dãy Fibonacci

$F(2)=1$, $F(3)=2$, $F(4)=3$, $F(5)=5$, $F(6)=8$, $F(7)=13$, $F(8)=21$, $F(9)=34$, $F(10)=55$, $F(11)=89$.

Vì tất cả các số tự nhiên từ $1$ tới $100$ đều được biểu diễn một cách duy nhất thành tổng của những số trên, nên mỗi số tự nhiên lớn hơn (hoặc bằng) $1$ và nhỏ hơn (hoặc bằng) $100$ đều xuất hiện trong một tổ hợp duy nhất của những lá bài ma thuật trên.

Những lá bài ma thuật phía trên được tạo ra như sau:

⚡Trên $10$ lá bài trống, ta viết lần lượt các số $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$.

⚡Với những số nhỏ hơn (hoặc bằng) $100$, ta biểu diễn một cách duy nhất số đó theo cơ số Fibonacci, rồi viết số đó lên những lá bài tương ứng. Ta bắt đầu bằng số $4$, có biểu diễn duy nhất theo cơ số Fibonacci là $1 + 3$, nên ta ghi số $4$ lên những lá bài bắt đầu bằng số $1$ và $3$. Tiếp theo là số $6$, vì biểu diễn duy nhất theo cơ số Fibonacci là $1 + 5$ nên ta ghi số $6$ lên những lá bài bắt đầu bởi những số $1$ và $5$. Tiếp tục thao tác trên với những số $7, 9, 10, ... , 100$ ta thu được $10$ lá bài ma thuật nêu trên.

Trò chơi đoán số:

+ Bạn Đức nghĩ tới một số bất kỳ trong khoảng từ $1$ tới $100$.

+ Bạn đưa cho người chơi xem lần lượt từng lá bài ma thuật phía trên, với mỗi lá bài đưa ra, bạn Đức sẽ hỏi người chơi xem có số mà họ nghĩ tới ở trong đó hay không.

Và 3 lá bài lần lượt chứa con số mà bạn Đức lựa chọn là:

Theo em, bạn Đức đã chọn con số nào?

🔹 Thí sinh nhấn vào nút 'Gửi bài làm' bên dưới để trình bày lời giải đầy đủ của mình. Tối đa 10 bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng coin của OLM để đổi ra thẻ cào, ngày VIP, phần quà, ... chi tiết tại trang web: shop.olm.vn.

🔹 Cuộc thi kết thúc vào 11:00 ngày 26/9/2025. Câu đố tiếp theo sẽ lên vào 17 giờ cùng ngày.