a) Chứng minh tứ giác $BFHD$ nội tiếp.

Xét đường tròn $(I)$ có ���^=90∘CFB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $CF\perp AB$.

���^=90∘CFB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $BE\perp AC$

Mà $CF$ cắt $BE$ tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

Hay $AH\perp BC$, suy ra ���^=90∘HDB=90∘

Gọi $K$ là trung điểm $BH$.

Xét tam giác $HDB$ có ���^=90∘HDB=90∘ và $DK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ��=��=��=12��KD=KH=KB=21​BH (1)

Xét tam giác $HFB$ có ���^=90∘HFB=90∘ và $EK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ��=��=��=12��KE=KH=KB=21​HB (2)

Từ (1) và (2) suy ra $KB=KH=KF=KD$.

Vậy tứ giác $BFHD$ nội tiếp được đường tròn có tâm $K$ đường kính $BH$.

b) Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp.

Gọi $O$ là trung điểm $AB$.

Xét tam giác $ADB$ có ���^=90∘ADB=90∘ và $DO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ��=��=��=12��OD=OA=OB=21​AB (3)

Xét tam giác $AEB$ có ���^=90∘AEB=90∘ và $EO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ��=��=��=12��OE=OA=OB=21​AB (4)

Từ (3) và (4) suy ra $OD=OE=OA=OB$.

Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp được đường tròn có tâm $O$ đường kính $AB$.