a,ABCD là hình vuông nên AB=BC=CD=DC

Mà AM=BN=CP=DQ.

Trừ theo vế ta được AB-AM=BC-BN=CD-CP=DA-DQ

Suy ra MB=NC=PD=QA

Xét tam giác QAM và tam giác NCP có:góc A=góc C=90 độ

AQ=NC(chứng minh trên)

AM=CP(giả thiết)

Suy ra tam giác QAM=tam giác NCP(c.g.c)

a,Tứ giác AMCK có2đường chéo AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM=MC=MB.

Vậy hình bình hành AMCK có AM= MC nên là hình thoi.

b,Vì AMCK là hình thoi nên AK//BM và AK=MC=BM.

Tứ giác AKMB có AK//BM,AK=BM nên là hình bình hành.

c,Để AMCK là hình vuông thì cần có 1góc vuông hay AM vuông góc với MC.

Khi đó tam giác ABC có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì AMCK là hình vuông.

a,Tam giác ABC vuông cân nên góc B=góc C=45độ.

Tam giác BHE vuông tại H có góc BEH+góc B=90độ

Suy ra góc BEH=90độ-45độ=45độ nên góc B=góc BEH=45độ.

Vậy tam giác BEH vuông cân tại H.

b,Chứng minh tương tự câu a ta được tam giác CFG vuông cân tại G nên GF=GC và HB=HE

Mặt khác BH=HG=GC suy ra EH=HG =GF và EH//FG(cùng vuông góc với BC)

Tứ giác EFGH có EH//FG,EH=FG nên là hình bình hành.

Hình bình hành EFGH có1góc vuông góc H nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật EFGH có2cạnh kề bằng nhau EH=HG nên là hình vuông.

Tứ giác OBAC có3góc vuông góc B= góc C=góc BOC=90độ

Nên OBAC là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác OM suy ra AB=AC.

Khi đó OBAC là hình vuông.

a,Tứ giác AEDF có góc EAF=góc AED=góc AFD=90độ nên là hình chữ nhật.

Tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác góc EAF.

Hình chữ nhật AEDF có đường chéo AD là tia phân giác góc EAF nên là hình vuông.

b,Tan giác AEF vuông tại A có AE=AF nên vuông cân tại A

Suy ra góc F1=45 độ=góc C nà góc F1,góc C đồng vị nên EF//BC.

c,Gọi O là giao của AD với EF suy ra OE=OD=OF=OA

Tam giác ENF vuông tại N có NO là đường trung tuyến nên NO=EO=FO

Tam giác AND có NO là đường trung tuyến mà NO=AD/2 suy ra tam giác AND vuông tại N.

a,Tứ giác ADME có góc DAE=góc D=góc E=90 độ nên ADME là hình chữ nhật.

b,Vì DM vuông góc với AB và AC vuông góc AB nên DM//AC suy ra góc C=góc BMD(SLT).

Xét tam giác DMB và tam giác ECM có:góc D=góc E=90 độ

BM=CM(gt);góc DMB=góc C(SLT)

Vậy tam giác DMB=tam giác ECM(ch-gn)

Suy ra ME=BD(2 cạnh tương ứng)mà ME=AD nên AD=BD.

Tứ giác AMBI có 2 đường chéo AB,MI cắt nhau tại D là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà MI vuông góc với AB suy ra AMBI là hình thoi.

c,Để AMBI là hình vuông thì AM vuông góc với BM hay AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác ABC vuông cân tại A.

d,Giả sử AM cắt PQ tại F và PQ cắt AH tại O.

Khi đó tam giác OAQ có OA=OQ nên tam giác OAQ cân tại O suy ra góc Q1=góc OAQ

Tam giác AMC cân tại M suy ra góc A1=góc C

Do đó,góc A1+góc Q1=góc C+góc OAQ=90 độ

Suy ra tam giác FAQ vuông tại F hay AM vuông góc với PQ.

a,Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC,BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.

b,Ta có AP vuông góc với BC;AQ//BC suy ra AP vuông góc với AQ.

Tứ giác APCQ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó 2 đường chéo AC,PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,mà NA=NC nên N là trung điểm của PQ.

Suy ra P,N,Q thẳng hàng.

c,Để tứ giác ABCD là hình vuông thì ta cần AB vuông góc với BC,AB=BC hay tam giác ABC vuông cân tại B.

a,Ta có AD=BC suy ra AD/2=BC/2 nên MC=ND và MC//ND

Do đó,MCDN là hình bình hành.

Lại có CD=AB=AD/2=ND nên MCDN là hình thoi

b,BM//AD suy ra ABMD là hình thang.

Mà góc ADC=120 độ mà DM là phân giác góc ADC nên góc ADM=60 độ=góc BAD.

Vậy ABMD là hình thang cân.

c,Tam giác KAD có góc KAD=góc KDA nên là tam giác cân.

Xét tam giác MBK và tam giác MCD có:góc M1=góc M2(đđ)

MB=MC(gt);góc B1=góc C(SLT)

Vậy tam giác MBK=tam giác MCD(g.c.g) suy ra MK=MD(2 cạnh tương ứng).

Khi đó AM là đường trung tuyến và BK=CD(2 cạnh tương ứng)

Mà CD=AB suy ra AB=BK hay DB là đường trung tuyến.

Khi đó,tam giác KAD có 3 đường trung tuyến AM,BD,KN đồng quy.

a,Ta có góc O1+góc O3=90độ và góc  O2+góc O3=90độ suy ra góc O1=góc O2.

Mặt khác góc A1=góc B1=45độ.

Xét tam giác AOP và tam giác BOR có:góc A1=góc B1=45độ

OA=OB(gt);góc O1=góc O2(cmt)

Suy ra tam giác AOP=tam giác BOR(g.c.g)

b,Từ tam giác AOP=tam giác BOR suy ra OP=OR(2 cạnh tương ứng)

Cm tương tự cho tam giác OBR=tam giác OCQ và tam giác OCQ=tam giác ODS

Suy ra OR=OQ và OQ=OS.

Khi đó OP=OR=OS=OQ.

c,Tứ giác PRQS là hình thoi vì có 4 cạnh bằng nhau.

Mà tam giác OPR có OP=OR và góc POR=90 độ nên tam giác OPR là tam giác vuông cân tại O

Suy ra góc P1=45 độ.

Tương tự góc P2=45 độ nên góc RPS=góc P1+góc P2=90 độ.

Hình thoi PRQS có góc RPS=90 độ nên nó là hình vuông.

a,Ta có:Ax vuiong góc với AC và By//AC

Suy ra Ax vuông góc với By suy ra góc AMB=90 độ.

Xét tam giác MAQ và tam giác QPM có
Góc MQA=góc BMQ(SLT);

MQ là cạnh chung;

Góc AMQ=góc BQM(Ax//QB).

Suy ra tam giác MAQ=tam giác QBM(g-c-g)

Suy ra góc MBQ=góc MAQ=90 độ(2 góc tương ứng)

Xét tứ giác AMBQ có:góc QAM=góc AMB=góc MBQ=90 độ

Suy ra tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.

b,Do tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.

Mà P là trung điểm AB nên PQ=1/2AB(1).

Xét tam giác AIB vuông tại I và có IP là đường trung tuyến.

Suy ra IP=1/2AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra QP=IP suy ra tam giác PQI cân tại P.