a,Vì AB=2BC suy ra BC=AB/2=AD.ABCD là hcn nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD.Tứ giác AIKD có AI//DK,AI=DK nên AIKD là hbh.Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi.Mà góc IAD=90 độ do đó AIKD là hình vuông.Cm tương tự cho tứ giác BIKC.b,Vì AIKD là hình vuông nên DI là tia pg góc ADK hay góc IDK=45 độ.Tương tự góc ICD=45 độ.Tam giác IDC cân có góc DIC=90 độ nên là tam giác vuông cân.c,Vì AIKD,BCKI là các hình vuông nên 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2.Suy ra ISKR là hình thoi.Lại có góc DIC=90 độ nên ISKR là hình vuông.

a,ABCD là hình vuông nên AB=BC=CD=DA mà AM=BN=CP=DQ.Trừ theo vế ta được AB-AM=BC-BN=CD-CP=DA-DQ.Suy ra MB=NC=PD=QA.b,Xét tam giác QAM và tam giác NCP có:góc A=góc C=90 độ;AQ=NC(cmt);AM=CP(gt).Suy ra tam giác QAM=tam giác NCP(c.g.c).c,Từ tam giác QAM=tam giác NCP suy ra NP=MQ(2 cạnh tương ứng).Cm tương tự câu b ta có tam giác QAM=tam giác PDQ và tam giác QAM=tam giác MBN. Khi đó suy ra MƯ=PQ,MN=MQ và gics AMQ=góc DQP.Mà góc AMQ+góc AQM=90 độ suy ra góc DQP+góc AQM=90 độ.Do đó,góc MQP=90 độ.Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi,lại có góc MQP=90 độ nên là hình vuông.

a,Tứ giác AMCK có 2 đường chéo AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hbh.Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM=MC=MB.Vậy hbh AMCK có AM=MC nên là hình thoi.b,Vì AMCK là hình thoi nên AK//BM và AK=MC=BM.Tứ giác AKMB có AK//BM,AK=BM nên là hbh.c,Để AMCK là hình vuông thì cần có 1 góc vuông hay AM vuông góc với MC.Khi đó tam giác ABC có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A.Vậy tam giác ABC vuông tại A thì AMCK là hình vuông.

a,Tam giác ABC vuông cân nên góc A=góc B=góc C=45 độ.Tam giác BHE vuông tại H có góc BEH+góc B=90 độ.Suy ra góc BEH=90 độ-45 độ=45 độ nên góc B=góc BEH=45 độ.Vậy tam giác BEH vuông cân tại H.
b,Cm tương tự câu a ta được tam giác CFG vuông cân tại G nên GF=GC và HB=HE.Mặt khác BH=HG=GC.Suy ra EH=HG=GF và EH//FG(cùng vuông góc với BC).Tứ giác EFGH có EH//FG,EH=FG nên là hbh.hbh EFGH có 1 góc vuông góc H nên là hcn.hcn EFGH có 2 cạnh kề bằng nhau EH=HG nên là hình vuông.

Tứ giác OBAC có 3 góc vuông góc B=góc C=góc BOC=90 độ.Nên OBAC là hình chữ nhật.Mà A nằm trên tia pg OM suy ra AB=AC.Khi đó OBAC là hình vuông.

a,Tứ giác AEDF có góc EAF=góc AED=góc AFD=90 độ nên là hcn.Tam giác ADC vuông cân tại A có AM là trung tuyến nên AM cũng là đường pg góc EAF.hcn AEDF có đường chéo AD là tia pg góc EAF nên là hình vuông.

b,Tam giác AEF vuông tại A có AE=AF nên vuông cân tại A suy ra góc F1=45 độ= góc C mà góc F1,góc C đv nên EF//BC.

c,Gọi O là giao điểm của AD với EF suy ra OE=OD=OF=OA.Tam giác ENF vuông tại N có NO là đường trung tuyến nên NO=EO=FO.Tam giác AND có NO là đường trung tuyến mà NO=AD/2 suy ra tam giác AND vuông tại N.

a,Tứ giác ADME có góc DAE=góc D=góc E=90 độ nên ADME là hcn.

b,Vì DM vuông góc với AB và AC vuông góc với AB nên DM//AC suy ra góc C=góc BMD(SLT).Xét tam giác DMB và tam giác ECM có:góc D=góc E=90 độ;BM=CM(gt);góc DMB=góc C(SLT).Vậy tam giác DMB=tam giác ECM(ch-gn)suy ra ME=BD(2 cạnh tương ứng)mà ME=AD nên AD=BD.Tứ giác AMBI có 2 đường chéo AB,MI cắt nhau tại D là trung điểm của mỗi đường nên là hbh.Mà MI vuông góc với AB suy ra AMBI là hình thoi.

c,Để AMBI là hình vuông thì AM vuông góc với BM hay AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác ABC vuông cân tại A.

d,Giả sử AM cắt PQ tại F và PQ cắt AH tại O.Khi đó tam giác OAQ có OA=OQ nên tam giác OAQ cân tại O suy ra góc Q1=góc OAQ.Tam giác AMC cân tại M suy ra góc A1=góc C.Do đó,góc A1+góc  Q1=góc C+góc OAQ=90 độ.Suy ra tam giác FAQ vuông tại F hay AM vuông góc với PQ.

a,Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC,BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hbh.

b,Ta có AP vuông góc với BC;AQ//BC suy ra AP vuông góc với AQ.Tứ giác APCQ có 3 góc vuông nên là hcn.Khi đó 2 đường chéo AC,PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,mà NA=NC nên N là trung điểm của PQ.Suy ra P,N,Q thẳng hàng.

c,Để tứ giác ABCD là hình vuông thì ta cần AB vuông góc với BC,AB=BC hay tam giác ABC vuông cân tại B.